Niedawno pisałam to tym, jak obliczać wartość logarytmu (o tutaj). Dziś opowiem Ci, jak wykorzystać działania na logarytmach, gdy nie można ich tak po prostu obliczyć.
Wzorów z logarytmami trochę jest, ale skupię się na trzech, które w zadaniach pojawiają się zdecydowanie najczęściej.
Dodawanie logarytmów
Jeśli mamy dwa logarytmy o takich samych podstawach, to możemy je dodawać. Wygląda to następująco:
\(\log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)\)Na przykład:
\(\log_34+\log_35=\log_3(4\cdot 5)=\log_320\)
\(\log_715+\log_73=\log_7(15\cdot 3)=\log_745\)
Odejmowanie logarytmów
Logarytmy o takich samych podstawach możemy też odejmować:
\(\log_ax-\log_ay=\log_a\large\frac{x}{y}\)Na przykład:
\(\log_615-\log_63=\log_6\frac{\cancel{15}^5}{\cancel{3}^1}=\log_6\frac{5}{1}=\log_65\)
\(\log_427-\log_49=\log_4\frac{\cancel{27}^3}{\cancel{9}^1}=\log_4\frac{3}{1}=\log_43\)
Mnożenie logarytmu przez liczbę
Jeśli logarytm jest pomnożony przez liczbę, to możemy ją „wciągnąć” do środka logarytmu, o w taki sposób:
\(r\log_ab=\log_ab^r\)Na przykład:
\(2\log_45=\log_45^2=\log_425\)
\(3\log_24=\log_24^3=\log_264\)
__________________________________
Być może zastanawiasz się teraz, po co nam te wzory. Czy nie można najpierw obliczyć każdego z logarytmów osobno, a potem ich wartości dodać czy odjąć?
Jeżeli można, to super! Tylko że niestety, często nie można. Weźmy na przykład takie działanie: \(\log_63+\log_612\). Jeśli chcielibyśmy obliczyć każdy z tych logarytmów osobno, to dla pierwszego logarytmu wyglądałoby to tak:
\(\log_63=x\)
\(6^x=3\)
Natomiast dla drugiego:
\(\log_612=x\)
\(6^x = 12\)
Teraz powinniśmy zapisać obie strony w postaci potęgi o takiej samej podstawie. Problem jest taki, że nie wiem jak Ty, ale ja nie mam pojęcia, jak to zrobić. Spróbujmy w takim razie zastosować wzór na dodawanie logarytmów:
\(\log_63+\log_612=\log_6(3\cdot 12)=\log_636\)
Być może już widzisz, że powstał nam logarytm, który bardzo łatwo obliczyć:
\(\log_636 = x\)
\(6^x=36\)
\(6^x=6^2\)
\(x=2\)
\(\log_636 = 2\)
(Jeśli te kroki były dla Ciebie niezrozumiałe, to tu poczytasz o obliczaniu logarytmów)
Podobnie jest przy odejmowaniu logarytmów. Na przykład obliczmy, ile to jest \(\log_372-\log_38\). Ani za bardzo nie potrafimy obliczyć pierwszego logarytmu, ani drugiego. Zastosujmy więc wzór na odejmowanie logarytmów:
\(\log_372-\log_38=\log_3\frac{\cancel{72}^9}{\cancel{8}^1}=\log_3\frac{9}{1}=\log_39\)
Taki logarytm już z łatwością obliczymy:
\(\log_39=x\)
\(3^x=9\)
\(3^x=3^2\)
\(x=2\)
A ten trzeci wzór? Sam w sobie nie jest potrzebny, natomiast bywa bardzo pomocny w połączeniu z pozostałymi dwoma. Jeśli na przykład mamy do obliczenia coś takiego: \(2\log_510-\log_54\), to fajnie by było zastosować wzór na odejmowanie logarytmów. Tylko że nie możemy, bo on nie przewiduje scenariusza, w którym przed logarytmem stoi liczba. Dlatego najpierw się tej dwójki pozbędziemy, stosując trzeci wzór:
\(2\log_510=\log_510^2=\log_5100\)
Teraz możemy to wstawić do naszego wyrażenia i zastosować wzór na odejmowanie logarytmów:
\(2\log_510-\log_54=\log_5100-\log_54=\log_5\frac{\cancel{100}^{25}}{\cancel{4}^1}=\log_5\frac{25}{1}=\log_525\)
Ten logarytm bez problemu obliczymy:
\(\log_525=x\)
\(5^x=25\)
\(5^x=5^2\)
\(x=2\)
\(\log_525=2\)
Na dziś to wszystko 🙂
