Logarytmy

Działania na logarytmach

Niedawno pisałam to tym, jak obliczać wartość logarytmu (o tutaj). Dziś opowiem Ci, jak wykorzystać działania na logarytmach, gdy nie można ich tak po prostu obliczyć.

Wzorów z logarytmami trochę jest, ale skupię się na trzech, które obowiązują Cię na poziomie podstawowym.

Dodawanie logarytmów

Jeśli mamy dwa logarytmy o takich samych podstawach, to możemy je dodawać. Wygląda to następująco:

\(\log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)\)

Na przykład:

\(\log_34+\log_35=\log_3(4\cdot 5)=\log_320\)

\(\log_715+\log_73=\log_7(15\cdot 3)=\log_745\)

Odejmowanie logarytmów

Logarytmy o takich samych podstawach możemy też odejmować:

\(\log_ax-\log_ay=\log_a\large\frac{x}{y}\)

Na przykład:

\(\log_615-\log_63=\log_6\frac{\cancel{15}^5}{\cancel{3}^1}=\log_6\frac{5}{1}=\log_65\)

\(\log_427-\log_49=\log_4\frac{\cancel{27}^3}{\cancel{9}^1}=\log_4\frac{3}{1}=\log_43\)

Mnożenie logarytmu przez liczbę

Jeśli logarytm jest pomnożony przez liczbę, to możemy ją „wciągnąć” do środka logarytmu, o w taki sposób:

\(r\log_ax=\log_ax^r\)

Na przykład:

\(2\log_45=\log_45^2=\log_425\)

\(3\log_24=\log_24^3=\log_264\)

__________________________________

Być może zastanawiasz się teraz, po co nam te wzory. Czy nie można najpierw obliczyć każdego z logarytmów osobno, a potem ich wartości dodać czy odjąć?

Jeżeli można, to super! Tylko że niestety, często nie można. Weźmy na przykład takie działanie: \(\log_63+\log_612\). Jeśli chcielibyśmy obliczyć każdy z tych logarytmów osobno, to dla pierwszego logarytmu wyglądałoby to tak:

\(\log_63=x\)

\(6^x=3\)

Natomiast dla drugiego:

\(\log_612=x\)

\(6^x = 12\)

Teraz powinniśmy zapisać obie strony w postaci potęgi o takiej samej podstawie. Problem jest taki, że nie wiem jak Ty, ale ja nie mam pojęcia, jak to zrobić. Spróbujmy w takim razie zastosować wzór na dodawanie logarytmów:

\(\log_63+\log_612=\log_6(3\cdot 12)=\log_636\)

Być może już widzisz, że powstał nam logarytm, który bardzo łatwo można obliczyć:

\(\log_636 = x\)

\(6^x=36\)

\(6^x=6^2\)

\(x=2\)

\(\log_636 = 2\)

(Jeśli te kroki były dla Ciebie niezrozumiałe, to tu poczytasz o obliczaniu logarytmów)

Podobnie jest przy odejmowaniu logarytmów. Na przykład obliczmy, ile to jest \(\log_372-\log_38\). Ani za bardzo nie potrafimy obliczyć pierwszego logarytmu, ani drugiego. Zastosujmy więc wzór na odejmowanie logarytmów:

\(\log_372-\log_38=\log_3\frac{\cancel{72}^9}{\cancel{8}^1}=\log_3\frac{9}{1}=\log_39\)

Taki logarytm już z łatwością obliczymy:

\(\log_39=x\)

\(3^x=9\)

\(3^x=3^2\)

\(x=2\)

A ten trzeci wzór? Sam w sobie nie jest potrzebny, natomiast bywa bardzo pomocny w połączeniu z pozostałymi dwoma. Jeśli na przykład mamy do obliczenia coś takiego: \(2\log_510-\log_54\), to fajnie by było zastosować wzór na odejmowanie logarytmów. Tylko że nie możemy, bo on nie przewiduje scenariusza, w którym przed logarytmem stoi liczba. Dlatego najpierw się tej dwójki pozbędziemy, stosując trzeci wzór:

\(2\log_510=\log_510^2=\log_5100\)

Teraz możemy to wstawić do naszego wyrażenia i zastosować wzór na odejmowanie logarytmów:

\(2\log_510-\log_54=\log_5100-\log_54=\log_5\frac{\cancel{100}^{25}}{\cancel{4}^1}=\log_5\frac{25}{1}=\log_525\)

Ten logarytm bez problemu obliczymy:

\(\log_525=x\)

\(5^x=25\)

\(5^x=5^2\)

\(x=2\)

\(\log_525=2\)

Na dziś to wszystko 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!