Pierwiastki

Działania na pierwiastkach

Dzisiaj pokażę Ci, co można robić z pierwiastkami (bo wielu rzeczy nie można).

Potęgowanie pierwiastków

Definicja pierwiastka wygląda tak:

Jeśli \(x^a = y\), to \(\sqrt[a]{y}=x\).

Bezpośrednio z tej definicji wynika następująca własność:

\(a=\sqrt{a}^2\)

\(a=\sqrt[3]{a}^3\)

Czyli np. \(6 = \sqrt{6}^2\), a \(\sqrt[3]{7}^3 = 7\). Jest to bardzo, bardzo, bardzo, bardzo ważna własność. I ja wiem, że Ty to wiesz, ale być może nie zawsze zauważasz, że możesz tego użyć. A możesz tego użyć przede wszystkim tam, gdzie polecenie brzmi „zapisz liczbę w postaci jednej potęgi”. Weźmy na przykład \(2\sqrt{2}\) – spróbujemy zapisać to w postaci jednej potęgi. Zrobię to, zamieniając \(2\) na \(\sqrt{2}^2\).

\(2\sqrt{2}=\sqrt{2}^2\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}^2\cdot \sqrt{2}^1 = \sqrt{2}^3\)

Przydaje się to przy wszelkich przekształceniach algebraicznych, a także przy logarytmach.

Może się też zdarzyć tak, że mamy do obliczenia pierwiastek podniesiony do wysokiej potęgi, na przykład \(\sqrt2^8\) – co wtedy? Tu również skorzystamy z własności, że \(a=\sqrt{a}^2\). Zapiszemy sobie \(\sqrt2^8\) jako \((\sqrt2^2)^{\large 4}\) (jeśli nie wiesz, co za magia się tu teraz zadziała, przeczytaj wpis o potęgach). \(\sqrt2^2\) to po prostu \(2\), a więc

\(\sqrt2^8=(\sqrt2^2)^{\large 4}=2^{\large 4}=16\)

Tak samo możemy zrobić z pierwiastkiem trzeciego stopnia:

\(\sqrt[3]2^9=(\sqrt[3]2^3)^{\large 3}=2^{\large 3}=8\)

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Aby móc pomnożyć lub podzielić przez siebie pierwiastki wystarczy, by były one tego samego stopnia (stopień to ta mała liczba nad dzióbkiem pierwiastka – jeśli nie ma żadnej liczby, to domyślnie jest tam \(2\), czyli pierwiastek jest drugiego stopnia). Wtedy możemy wykonywać na nich takie operacje:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}\)

\(\sqrt{a}:\sqrt{b} = \sqrt{a:b}\)

Dzielenie można też zapisać w postaci ułamka:

\(\large\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

Dokładnie tak samo możemy zrobić z pierwiastkami trzeciego (i każdego innego) stopnia.

\(\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a\cdot b}\)

\(\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a:b}\)

\(\large\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}\)

Czyli np. \(\large\sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\), a \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{3\cdot7}\). Po co nam to?

Te wzory przydają się tam, gdzie mamy pierwiastek, z którym w zasadzie nie wiadomo co zrobić – możemy go wtedy rozdzielić na dwa pierwiastki i często sprawa się wyjaśnia. Ma to zastosowanie głównie przy ułamkach. Podam Ci przykład: mamy \(\large\sqrt{\frac{4}{9}}\). Wyciągnięcie pierwiastka z \(\large\frac{4}{9}\) może nie być oczywiste, ale jeśli rozdzielimy to sobie na dwa pierwiastki, to robi się dużo łatwiej:

\(\large\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}\)

Z kolei działanie w drugą stronę (czyli zamienianie dwóch pierwiastków na jeden) przydaje się przy mnożeniu. Gdy mamy pomnożyć przez siebie dwa pierwiastki, które są jakieś takie bez sensu, możemy je zamienić w jeden pierwiastek i jest szansa, że sprawy się uproszczą. Weźmy na przykład działanie \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}\). Z żadnej z tych liczb nie ma pierwiastka, ale zobacz co się stanie, gdy zamienię je w jeden:

\(\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6\)

Oczywiście nie zawsze w życiu będzie tak, że wszystko nam się pięknie poskłada, ale warto próbować 😀

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Do tego, by dodać lub odjąć od siebie pierwiastki, nie wystarczy, by były tego samego stopnia. Dodatkowo muszą mieć tę samą liczbę pod pierwiastkiem. Czyli innymi słowy – muszą być po prostu takie same. Wtedy dodajemy je tak samo, jak szklanki, mrówkojady czy cokolwiek innego:

\(2\) mrówkojady + \(3\) mrówkojady = \(5\) mrówkojadów

\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
\(2\sqrt[3]{10} + 3\sqrt[3]{10} = 5\sqrt[3]{10}\)

A co, jeśli przed pierwiastkiem nie ma liczby? Jeśli nie ma, to znaczy, że jest jeden. Tak samo gdy mówię „piję wodę ze szklanki”, to oznacza, że piję wodę z jednej szklanki – nie muszę tego mówić, bo wiadomo, że z jednej.

mrówkojad + \(2\) mrówkojady = \(3\) mrówkojady

\(\sqrt{3}+2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)

\(\sqrt[3]{10} + 2\sqrt[3]{10} = 3\sqrt[3]{10}\)

Podobnie jest z odejmowaniem:

\(6\sqrt{3}-2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)

\(8\sqrt[3]{10} – \sqrt[3]{10} = 7\sqrt[3]{10}\)

Zwróć uwagę, że pierwiastki, które dodaję i odejmuję, są takie same. Nie mogę dodać pierwiastków, które są różne, czyli np. \(\sqrt{3} + \sqrt{7}\) – jeśli trafi Ci się taki wynik, to nie przekształcaj go dalej, tylko po prostu tak zostaw 🙂 Sytuacja wygląda podobnie, jeśli chodzi o dodawanie pierwiastków i liczb naturalnych, czyli np. \(2+ \sqrt{3}\) – tego nie można dodać! Zostawiamy to po prostu tak, jak jest.

Są jednak takie sytuacje, gdy możemy dodać dwa różne pierwiastki, ale tylko wtedy, gdy uda nam się zrobić tak, by były takie same. Wiem, że to brzmi, jakbym gadała głupoty, ale już tłumaczę, o co mi chodzi.

Pamiętasz wyłączanie czynnika przed pierwiastek? Możemy to wykorzystać przy dodawaniu i odejmowaniu pierwiastków. Weźmy na przykład \(\sqrt{18}\). Możemy wyciągnąć czynnik przed pierwiastek i wtedy otrzymamy \(3\sqrt{2}\).

Dlatego, pomimo że \(\sqrt{2}\) i \(\sqrt{18}\) to różne pierwiastki, możemy je dodać, bo \(\sqrt{18}\) możemy zamienić na \(3\sqrt{2}\). Będzie to wyglądało tak:

\(\sqrt{18}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)

W ten sam sposób możemy robić z pierwiastkami trzeciego stopnia. \(\sqrt[3]{72} = 2\sqrt[3]{9}\), dlatego \(\sqrt[3]{72}\) możemy dodać do \(\sqrt[3]{9}\):

\(\sqrt[3]{72}+3\sqrt[3]{9} = 2\sqrt[3]{9}+3\sqrt[3]{9} = 5\sqrt[3]{9}\)

Czasami może być tak, że trzeba zamienić oba pierwiastki:

\(\sqrt{27}-\sqrt{12} = 3\sqrt{3} – 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\)

Na dziś to tyle. To, co przede wszystkim chciałabym, abyś zapamiętał to to, by próbować – najczęściej wystarczy trochę zmienić otrzymane wyrażenie, by wszystko samo się rozwiązało 🙂

Pozostaw odpowiedź kinga - admin Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!