Potęgi

Działania na potęgach – część 1

Ostatnio pisałam o działaniach na pierwiastkach, czyli co i jak można z nimi robić. Jak się zaraz przekonasz, przy potęgach pewne zasady są bardzo podobne (choć być może bardziej będzie to widać w części drugiej, dotyczącej dodawania i odejmowania potęg) 🙂

Potęgowanie ujemnej liczby

Gdy potęgujemy ujemną liczbę, w pierwszej kolejności ustalamy, czy wynik będzie dodatni, czy ujemny. Jeśli potęga jest parzysta, to minus znika, a jeśli potęga jest nieparzysta, to minus zostaje. Czyli na przykład \((-5)^6 = 5^6\), a \((-5)^7 = -5^7\). Piszę o tym, bo chcę Cię zachęcić do tego, byś widząc ujemną liczbę od razu sprawdził, jaka jest potęga i albo pozbył się minusa (gdy potęga jest parzysta), albo go wyciągnął (gdy jest nieparzysta). Warto to zrobić jak najszybciej, bo wielu osobom plączące się nawiasy bardzo zaburzają obraz sytuacji – a tak możemy się ich łatwo pozbyć.

Jedna uwaga: \((-5)^2\) i \(-5^2\) to nie jest to samo. Jeśli ujemna liczba, którą potęgujemy, jest w nawiasie, to potęgujemy ją razem z tym minusem (czyli przez to, że mamy parzystą potęgę, minus zniknie). Natomiast jeśli liczba ujemna nie jest w nawiasie, to minusa nie potęgujemy (a więc nie zniknie, pomimo parzystej potęgi). Stąd \((-5)^2=25\), ale \(-5^2=-25\).

Potęgowanie potęgi

Gdy chcemy jakąś potęgę podnieść do potęgi jeszcze raz, korzystamy z poniższego wzoru:

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)

Czyli na przykład:

\((2^6)^5 = 2^{6\cdot 5} = 2^{30}\)

\((5^3)^7 = 5^{3\cdot 7} = 5^{21}\)

Ten wzór przydaje się często wtedy, gdy chcemy dwie potęgi (na przykład \(3^4\) i \(9^3\)) sprowadzić do tej samej podstawy. Wtedy zamieniamy \(9\) na \(3^2\) i zamiast \(9^3\) otrzymujemy \((3^2)^3\), czyli \(3^6\). Inny przykład – sprowadźmy do tej samej podstawy te dwie potęgi: \(4^5\) i \(8^6\). Obie te liczby możemy zapisać jako potęgę dwójki: \(4\) to \(2^2\), a \(8\) to \(2^3\). Stąd:

\(4^5=(2^2)^5=2^{10}\)

\(8^6 = (2^3)^6=2^{18}\)

Mnożenie i dzielenie potęg

Mnożyć i dzielić potęgi możemy w dwóch sytuacjach – albo, gdy mamy takie same podstawy (podstawa to to na dole), albo gdy mamy takie same wykładniki (wykładnik to to na górze).

Takie same podstawy

Gdy mamy takie same podstawy, wykładniki potęg przy mnożeniu się dodają, a przy dzieleniu odejmują.

\(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\)

\(a^m : a^n = a^{m-n}\)

Dzielenie możemy zapisać także w postaci ułamka:

\(\large\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\)

Czyli na przykład:

\(8^3\cdot 8^7 = 8^{3+7} = 8^{10}\)

\(3^{17}:3^{14}=3^{17-14} = 3^3\)

\(\large\frac{5^7}{5^3}\)\(=5^{7-3}=5^4\)

Przydaje się to głównie do upraszczania wyrażenia – w ten sposób łatwo możemy kilka potęg zamienić w jedną.

Takie same wykładniki

Gdy mamy różne podstawy, ale takie same wykładniki potęgi, to możemy sobie skleić dwie potęgi w jedną (tak samo, jak robiliśmy z pierwiastkami).

\(a^m\cdot b^m = (a\cdot b)^m\)

\(a^m : b^m = (a:b)^m\)

Tak jak poprzednio, dzielenie możemy przedstawić w formie ułamka:

\(\large\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m\)

Pamiętaj przy tym, że gdy potęgujemy ułamek, musi się on znaleźć w nawiasie. Jeśli tego nawiasu nie ma, to potęgujemy tylko licznik (górną część ułamka). Czyli \(\large(\frac{2}{3})^3\) jest równe \(\large\frac{8}{27}\), ale \(\large\frac{2}{3}^3\) jest już równe \(\large\frac{8}{3}\).

Kilka przykładów:

\(6^5\cdot 2^5 = (6\cdot 2)^5 = 12^5\)

\(18^7:9^7 = (18:9)^7 = 2^7 \)

\(\large\frac{14^5}{7^5} = (\frac{14}{7})^5 = 2^5\)

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, te zależności przydają się, gdy chcemy uprościć wyrażenie i skleić dwie (lub więcej) potęgi w jedną. Inne zastosowanie pojawia się wtedy, gdy mamy duże liczby. Powiedzmy, że mamy takie działanie do wykonania: \(225^3:75^3\). Możemy najpierw policzyć, ile to jest \(225^3\), potem ile to jest \(75^3\), a potem podzielić jedno przez drugie, ale szybciej będzie, jeśli zrobimy to tak:

\(225^3:75^3=(225:75)^3 = 3^3=27\)

___________________________________________

Na koniec dla przypomnienia – dwie najbardziej charaktetystyczne potęgi:

\(a^0 = 1\)

Każda liczba (nieważne, czy to będzie \(5\), czy \(7684,65\)) podniesiona do zerowej potęgi da nam \(1\).

\(0^n = 0\)

Zero podniesione do jakiejkolwiek potęgi zawsze będzie zerem. Wyjątkiem jest \(0^0\), które jest wyrażeniem nieoznaczonym – ale tego nie musisz wiedzieć 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!