Kombinatoryka

Kombinatoryka – zadania maturalne

Cześć! W tym wpisie znajdziesz zadania maturalne z kombinatoryki z lat 2015-2019. I nie, to nie pomyłka z mojej strony, naprawdę są tylko dwa 🙂 Aczkolwiek kombinatorykę stosujemy także w zadaniach z prawdopodobieństwa, więc jeśli chcesz ją poćwiczyć, to tam Cię odsyłam 🙂

Zadanie 24/maj 2018

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

A. \(402\)
B. \(403\)
C. \(203\)
D. \(204\)

W tym zadaniu nie będziemy stosować żadnych wzorów, tylko myślenie może nas uratować 😀

Najpierw zastanówmy się, jaka jest ostatnia liczba spełniająca warunki z zadania (a więc naturalna, czterocyfrowa, podzielna przez \(5\) i mniejsza niż \(2018\)). Ta liczba to \(2015\).

Liczb od \(1\) do \(2015\) jest \(2015\). Natomiast liczb podzielnych przez \(5\) w tym samym zbiorze jest \(2015:5\), czyli \(403\). Fajnie, tylko że policzyliśmy wszystkie liczby naturalne do \(2015\), a nie tylko czterocyfrowe. Policzmy więc, ile jest liczb jedno-, dwu- i trzycyfrowych podzielnych przez \(5\), a następnie je odejmiemy.

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez \(5\) to \(995\). Następna, czyli \(1000\), jest już czterocyfrowa.

Liczb od \(1\) do \(995\) jest \(995\). Natomiast liczb podzielnych przez \(5\) w tym przedziale jest \(995:5\), czyli \(199\).

Mamy teraz taką sytuację: Liczb jedno-, dwu- i trzy-cyfrowych podzielnych przez \(5\) jest \(199\), a liczb jedno-, dwu-, trzy- i czterocyfrowych podzielnych przez \(5\) jest \(403\). Stąd wynika, że samych liczb czterocyfrowych podzielnych przez \(5\) jest \(403-199\), czyli \(204\). Poprawna jest więc odpowiedź D.

Zadanie 24/maj 2019

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0, 2, 5\), jest

A. \(12\)
B. \(36\)
C. \(162\)
D. \(243\)

W tym zadaniu wykorzystamy regułę mnożenia. Stosujemy ją wtedy, gdy w danej sytuacji musimy podjąć kilka decyzji lub wykonać kilka losowań.

Pytają nas, ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych składających się wyłącznie z cyfr \(0\), \(2\) oraz \(5\). Mamy więc pięć cyfr do obstawienia, czyli dokonujemy pięciu wyborów cyfry.

W miejsce pierwszej cyfry możemy dokonać wyboru na dwa sposoby – możemy tam wstawić \(2\) lub \(5\) (liczba nie może się zaczynać od zera – chyba że liczba z przecinkiem, ale takich nie rozważamy). Mamy więc dwie możliwości.

Na pozostałe miejsca możemy wybrać cyfrę \(0\), \(2\) lub \(5\), mamy więc przy wyborze każdej cyfry po trzy możliwości.

Wiemy, ile mamy możliwości wyboru każdej z cyfr tej liczby, a na ile sposobów można wybrać całą liczbę? Zgodnie z regułą mnożenia obliczamy to, mnożąc przez siebie liczby możliwości przy wyborze każdej z cyfr.

Tak więc wszystkich takich liczb mamy \(2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\), czyli \(162\). Odpowiedź C.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!