Trygonometria

Korzystanie z tablic wartości funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne to takie coś, co określa zależność między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym. Pozwalają nam one na wyznaczenie kątów, gdy mamy co najmniej dwa boki trójkąta, lub, jeśli mamy co najmniej jeden kąt i co najmniej jeden bok, wyznaczenie pozostałych dwóch boków.

Aby to zrobić, potrzebujemy tablic wartości funkcji trygonometrycznych. Pojawiają się jednak dwa problemy. Po pierwsze: zadań, do których potrzebne jest użycie tych tablic, przerabiamy na lekcjach tak mało, że gdy już takie zadanie się trafi, to wiele osób w ogóle nie pamięta, że te tablice istnieją. Po drugie: nauczyciele bardzo często nie uczą, jak z tych tablic korzystać, bo zakładają, że dla wszystkich jest to oczywiste. Niestety z moich obserwacji wynika, że nie jest. Dlatego dziś pokażę Ci, jak korzystać z tych tablic, oraz w jakich zadaniach są one potrzebne.

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych wygląda tak:

Znajduje się ona na końcu karty wzorów, którą masz dostępną na maturze.

Są w niej przedstawione kąty oraz odpowiadające im wartości sinusa, cosinusa i tangensa. Wiele osób wprowadza w konsternację to, że mamy tam dwie rubryki z kątami: jedna podpisana jako \(\alpha\), a druga jako \(\beta\). Jeśli jednak przyjrzysz się nazwom funkcji trygonometrycznych, to zobaczysz, że przy nich również znajdują się dwa kąty: przy sinusie i tangensie stoi \(\alpha\), a przy cosinusie stoi \(\beta\). Oznacza to, że jeśli zadanie dotyczy sinusa lub tangensa, to będzie nas interesowała rubryka po lewej stronie (oznaczona jako \(\alpha\)), a jeśli cosinusa, to będziemy się kierować do rubryki po prawej (oznaczonej jako \(\beta\)). Pokażę Ci na przykładzie zadań, jak to działa. Żeby wszystko było dobrze widoczne, będę pokazywać tylko górny kawałek tablicy.

Zaczniemy od sytuacji łatwiejszej, czyli takiej, w której znamy kąt, a nie znamy wartości funkcji.

Dany jest kąt \(\alpha=21^o\). Wyznacz \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) i \(\text{tg }\alpha\).

Aby wyznaczyć wartości funkcji, skorzystamy z tablicy. Zaczynamy od tego, że w kolumnie z kątami szukamy \(21^o\). Tylko w której kolumnie, skoro są dwie? To zależy, wartość jakiej funkcji chcemy wyznaczyć. To, że w zadaniu jest kąt \(\alpha\) nie oznacza, że automatycznie będziemy odczytywać wartości z kolumny oznaczonej jako \(\alpha\)!

Zacznijmy od sinusa. Patrzymy, jaki kąt stoi przy sinusie w nazwie kolumny. Możesz zobaczyć, że jest to \(\alpha\).

To oznacza, że będziemy szukać wartości \(21^o\) w kolumnie oznaczonej jako \(\alpha\).

Teraz odczytujemy wartość sinusa odpowiadającą temu kątowi.

Odpowiedź: \(\sin 21^o=0,3584\)

Teraz cosinus. Sprawdzamy, jaki kąt stoi przy cosinusie.

Tym razem jest to \(\beta\), więc w kolumnie oznaczonej jako \(\beta\) szukamy \(21^o\).

Następnie odczytujemy wartość cosinusa, która odpowiada naszemu kątowi.

Odpowiedź: \(\cos 21^o=0,9336\)

Na końcu tangens. Najpierw patrzymy, jaki kąt stoi przy tangensie.

Znów jest to \(\alpha\), więc kierujemy się do kolumny po lewej stronie i szukamy kąta \(21^o\).

Następnie odczytujemy wartość tangensa dla kąta \(21^o\).

Odpowiedź: \(\text{tg }21^o=0,3839\)

__________________________________

Teraz nieco trudniejsza sytuacja – mamy wartość funkcji, a nie mamy kąta.

Podaj miarę kąta ostrego \(\alpha\) (zaokrągloną do pełnych stopni), jeżeli \(\text{tg }\alpha=0,21\).

Mamy wartość tangensa i chcemy się dowiedzieć, jakiemu kątowi ta wartość odpowiada. Bierzemy więc naszą tabelę. Idziemy do rubryki z tangensem (czy raczej rubryk, bo są dwie).

W tych kolumnach szukamy wartości, która jest najbliższa \(0,21\), czyli wartości tangensa, którą mamy z zadania.

Następnie patrzymy, jaki kąt stoi przy tangensie w tabeli.

Przy tangensie stoi \(\alpha\), więc kierujemy się teraz do komórki, która jest w kolumnie z kątem \(\alpha\) i znajduje się na wysokości wartości tangensa, której szukaliśmy.

Odpowiedź: \(\alpha=12^o\).

Inny przykład:

Podaj miarę kąta ostrego \(\alpha\) (zaokrągloną do pełnych stopni), jeżeli \(\cos\alpha=\large\frac{5}{33}\).

Najpierw znajdujemy kolumny oznaczone jako cosinus.

W tych kolumnach szukamy liczby, która jest najbliższa wartości z zadania, czyli \(\large\frac{5}{33}\). A, tylko jest problem – w tablicy mamy ułamki dziesiętne, musimy więc \(\large\frac{5}{33}\) przedstawić w formie ułamka dziesiętnego. Wklepujemy w kalkulator działanie \(5:33\) i wynik zaokrąglamy do czterech miejsc po przecinku (bo tyle miejsc mamy w tabeli). Wyszło nam \(0,1515\). Szukamy wartości jak najbliższej do tej liczby.

Teraz patrzymy, jaki kąt stoi w tabeli przy cosinusie.

Jak widzisz, jest to \(\beta\), więc kierujemy się do kolumny oznaczonej jako \(\beta\) (nie ma znaczenia, że w zadaniu kąt jest nazwany \(\alpha\)) i odczytujemy wartość kąta.

Odpowiedź: \(\alpha=81^o\)

_________________________________________

No dobra, treści zadań, które Ci tu zaprezentowałam, były trochę sztucznie stworzone po to, byś mógł zobaczyć, jak korzysta się z tabeli. W rzeczywistości jednak zadania są takie, że skorzystanie z tabeli jest tylko jednym z elementów.

W jakich więc zadaniach należy z tabeli skorzystać? Po pierwsze w takich, gdzie mamy mamy podany kąt (czy to w figurze, czy w bryle), który da się osadzić w trójkącie prostokątnym. Po drugie w takich, gdzie mamy za zadanie znaleźć jakiś kąt (ponownie – który da się osadzić w trójkącie prostokątnym). Poniżej możesz zobaczyć przykłady takich zadań.

Dany jest trójkąt o bokach \(8\text{ cm}\) i \(3\text{ cm}\) oraz kącie \(14^o\) (patrz rysunek.)

Wyznacz pole tego trójkąta.

Samo to, że mamy jakiś dziwny kąt, już nam sugeruje, że potrzebna będzie tablica. Zastanawiamy się, co nam jest potrzebne, by wykonać polecenie. Chcemy obliczyć pole, a wzór na pole trójkąta wygląda tak:

\(P=\large\frac{ah}{2}\)

Potrzebujemy więc podstawy oraz wysokości. Podstawę mamy, wysokości nie mamy. Do jej znalezienia wykorzystamy nasz kąt.

Będziemy liczyć wartość jednej z funkcji trygonometrycznych – sinusa, cosinusa lub tangensa. Jak zdecydować, który wybrać?

Najpierw osadzamy nasz kąt w trójkącie prostokątnym.

Następnie nazywamy odpowiednio boki – \(a\) to bok naprzeciwko naszego kąta, \(b\) to druga przyprostokątna, a \(c\) to przeciwprostokątna.

Szukamy teraz wzoru, który łączy to, co mamy, z tym, czego potrzebujemy. Mamy \(c\), potrzebujemy \(a\). To znaczy, że użyjemy sinusa.

\(\sin\alpha=\large\frac{a}{c}\)

Jeśli nie wiesz, co tu się właśnie dzieje, to zerknij tutaj.

No dobra, to podstawiamy:

\(\sin 14^o=\large\frac{a}{3}\)

Teraz sprawdzamy w tabeli \(\sin 14^o\)

Wstawiamy do naszego równania:

\(0,2419=\large\frac{a}{3}\)

Rozwiązujemy równanie (o rozwiązywaniu równań możesz poczytać tu):

\(\large\frac{0,2419}{1}=\frac{a}{3}\)

\(0,2419\cdot 3=a\cdot 1\)

\(0,7257=a\)

\(a\approx 0,7\)

Teraz możemy już obliczyć pole:

\(P=\large\frac{ah}{2}=\frac{\cancel{8}^4\cdot 0,7}{\cancel{2}^1}\)\(=4\cdot 0,7=2,8\)

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi \(2,8\text{ cm}^2\)

________________________________________

To było zadanie, w którym mieliśmy dany kąt. Teraz zadanie, w którym kąt chcemy znaleźć.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości równej \(5\) i krawędzi podstawy równej \(9\). Znajdź kąt nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszyczyzny podstawy.

Zaczynamy od zrobienia rysunku. Rysujemy ostrosłup prawidłowy czworokątny (to taki, który ma w podstawie kwadrat).

Zaznaczamy długości, które mamy dane: wysokość oraz krawędź podstawy.

Wreszcie zaznaczamy kąt, który mamy wyznaczyć, czyli kąt między wysokością ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.

Następnie osadzamy nasz kąt w trójkącie prostokątnym.

Gdy już to zrobimy, nazywamy odpowiednio boki tego trójkąta – \(a\) to bok naprzeciwko naszego kąta, \(b\) to druga przyprostokątna, a \(c\) to przeciwprostokątna.

Aby znaleźć kąt, potrzebujemy długości dwóch boków. Mamy bok \(a\), możemy też łatwo znaleźć bok \(b\) – ma on długość połowy boku kwadratu, czyli \(4,5\).

Szukamy teraz takiej funkcji, która łączy boki, które mamy, czyli \(a\) i \(b\) – będzie to tangens:

\(\text{tg }\alpha=\large\frac{a}{b}\)

Podstawiamy:

\(\text{tg }\alpha=\large\frac{5}{4,5}\)

Jak pewnie pamiętasz, w tabeli są ułamki w formie dziesiętnej, dlatego wklepujemy w kalkulator działanie \(5:4,5\) i zapisujemy wynik do czterech miejsc po przecinku.

\(\text{tg }\alpha=1,1111\)

Sprawdzamy w tabeli, jakiemu kątowi odpowiada taka wartość tangensa.

Odpowiedź: Kąt \(\alpha\) jest równy \(48^o\).

_________________________________

Jak widzisz, zasada generalnie jest taka: jeśli masz dany kąt lub masz znaleźć kąt i za bardzo nie wiadomo, co z tym zrobić, to warto spróbować osadzić go w trójkącie prostokątnym i skorzystać z tabeli.

Pamiętajmy jednak, by nie strzelać z armaty do komarów – jeśli kąt jest jakiś dziwny, typu \(54^o\), to sprawdzenie go w tabeli jest jedynym rozwiązaniem, ale jeśli mamy kąt \(30^o\), \(45^o\) lub \(60^o\), to łatwiej będzie skorzystać z własności dwóch najbardziej charakterystycznych trójkątów prostokątnych, czyli połowy kwadratu lub połowy trójkąta równobocznego.

Ewentualnie, jeśli nie radzisz sobie z tymi trójkątami zbyt dobrze, to dla takich charakterystycznych kątów jest osobna tabela, w której wartości są przedstawione w bardziej przystępnej formie.

Oczywiście te trzy kąty też są w tablicy, więc jeśli je tam sprawdzisz, nie popełnisz błędu, a jedynie nieco skomplikujesz sobie życie 😉

_________________________________

OK, to teraz zadanie dla Ciebie:

Dany jest trapez równoramienny o podstawach \(8 \text{ cm}\) i \(10 \text{ cm}\). Kąt przy dolnej podstawie ma rozwartość \(67^o\). Znajdź długość ramienia tego trapezu.

Powodzenia 🙂 Jeśli masz jakieś pytanie, zadaj je w komentarzu.

\(\cos\alpha=\large\frac{b}{c}\)
\(\cos 67^o=\large\frac{1}{c}\)
\(\large\frac{0,3907}{1}=\frac{1}{c}\)
\(0,3907\cdot c=1\cdot 1\)
\(c=\large\frac{1}{0,3907}\)
\(c\approx 2,6\)
Odpowiedź: Ramię ma długość \(2,6\text{ cm}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!