Geometria analityczna

Korzystanie ze wzoru na środek odcinka

Jeśli chodzi o geometrię analityczną, to w zasadzie na maturze podstawowej pojawiały się głównie trzy wzory – na współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych i równoległych oraz właśnie na środek odcinka.

Jeśli mamy odcinek o końcach w punktach \(A=(x_A, y_A)\) oraz \(B=(x_B, y_B)\), to środek tego odcinka będzie miał współrzędne

\(\large(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})\)

Czyli w pewnym sensie współrzędne środka odcinka są średnią współrzędnych jego końców.

Jeśli chodzi o zadania z wykorzystaniem tego wzoru, to w optymistycznej wersji dostaniemy współrzędne końców odcinka i polecenie, by obliczyć współrzędne jego środka – czyli bezpośrednio podstawić do wzoru. Może ono wyglądać na przykład tak:

Dane są dwa punkty \(E=(4,5)\) oraz \(F=(-6,7)\). Oblicz współrzędne punktu \(K\), będącego środkiem odcinka \(EF\).

W takiej sytuacji po prostu, bez większego zastanowienia, podstawiamy liczby do wzoru. Na marginesie mała uwaga: to, że we wzorze mamy punkty \(A\) i \(B\) oczywiście nie znaczy, że tylko dla takich punktów możemy go używać 😉 U nas ten wzór będzie wyglądał tak:

\(\large(\frac{x_E+x_F}{2},\frac{y_E+y_F}{2})\)

Z naszego zadania wiemy, że \(x_E=4\), \(y_E=5\), \(x_F=-6\), \(y_F=7\). Podstawiamy to do wzoru:

\(K=\large(\frac{4+(-6)}{2},\frac{5+7}{2})\)

Wykonujemy po kolei działania:

\(K=\large(\frac{-2}{2},\frac{12}{2})\)

\(K=(-1,6)\)

W ten sposób obliczyliśmy współrzędne środka odcinka. Możesz zobaczyć, jak wygląda to na rysunku:

Trochę trudniejszy wariant wygląda tak, że mamy podane współrzędne środka i jednego końca odcinka, a musimy znaleźć drugi koniec. Oto przykład takiego zadania.

Dany jest odcinek \(KL\) o środku w punkcie \(M=(5,-4)\). Znajdź współrzędne punktu \(L\) wiedząc, że \(K=(-3, 8)\).

Zapiszmy sobie najpierw współrzędne punktu \(L\) jako \((x_L, y_L)\). Podobnie jak poprzednio, podstawiamy współrzędne do wzoru (współrzędne końców odcinka, a nie współrzędne, które mamy dane!):

\(M=\large(\frac{x_L+(-3)}{2},\frac{y_L+8}{2})\)

Teraz skorzystamy z tego, że znamy współrzędne punktu \(M\). Wiemy, że \(x\)-owa współrzędna jest równa \(5\). Ze wzoru natomiast wiemy, że ta współrzędna jest równa \(\large\frac{x_L-3}{2}\). Stąd wniosek, że

\(5=\large\frac{x_L-3}{2}\)

Otrzymaliśmy równanie, z którego możemy wyznaczyć \(x_L\), co teraz zrobimy:

\(5\cdot 2 = x_L-3\)

\(10=x_L-3\)

\(10+3=x_L\)

\(13=x_L\)

Mamy już pierwszą współrzędną punktu \(L\). Teraz analogicznie znajdziemy drugą. Wiemy, że \(y\)-kowa współrzędna środka odcinka jest równa \(-4\). Ze wzoru z kolei wynika, że jest ona równa \(\large\frac{y_L+8}{2}\). Stąd

\(-4=\large\frac{y_L+8}{2}\)

Wyznaczam \(y_L\):

\(-4\cdot 2=y_L+8\)

\(-8=y_L+8\)

\(-8-8=y_L\)

\(-16=y_L\)

Możemy teraz zapisać wniosek, że punkt \(L\) ma współrzędne \((13,-16)\). Jeśli kroku, które wykonywałam, nie były dla Ciebie do końca jasne, to tu możesz poczytać o rozwiązywaniu równań.

Może nam się trafić też takie zadanie, że mamy podane wszystkie trzy punkty (końce odcinka oraz jego środek), ale we współrzędnych są niewiadome. Tu możesz zobaczyć przykład takiego zadania:

Dany jest odcinek o końcach w punktach \(A=(3+p, – 4+q)\) oraz \(B =( -3, 5q)\). Środkiem odcinka jest punkt \(S=(p, -q)\). Wyznacz \(p\) i \(q\).

Podobnie jak poprzednio podstawiamy nasze współrzędne do wzoru na środek odcinka:

\(S= \large(\frac{3+p+(-3)}{2}, \frac{-4+q+5q}{2})\)

Wiemy, że \(S=(p, -q)\). Możemy więc przyrównać do siebie współrzędne tego punktu. Najpierw współrzędna \(x\)-owa:

\(p=\large\frac{3+p+(-3)}{2}\)

Rozwiązujemy równanie:

\(2p=3+p+(-3)\)

\(2p=p\)

\(2p-p=0\)

\(p=0\)

Teraz druga współrzędna:

\(-q=\large\frac{-4+q+5q}{2}\)

Rozwiązuję równanie:

\(-2q=-4+q+5q\)

\(-2q=-4+6q\)

\(-2q-6q=-4\)

\(-8q=-4\)

\(q=\large\frac{-4}{-8}\)

\(q=\large\frac{\cancel{4}^1}{\cancel{8}^2}\)

\(q=\large\frac{1}{2}\)

Oczywiście może nam się również trafić bardziej złożone zadanie, w którym skorzystanie z tego wzoru nie da nam gotowego rozwiązania, a jedynie jego część. Będziemy tego typu zadania ćwiczyć w ostatnich dwóch-trzech tygodniach wyzwania 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!