Logarytmy

Obliczanie logarytmów

Dziś krok po kroku pokażę Ci, jak obliczyć wartość logarytmu oraz jak sobie z nim poradzić, gdy występują w nim ułamki i pierwiastki.

Aby obliczyć wartość logarytmu, skorzystamy z jego definicji:

\(\log_ac = b\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^b = c\)

Pokazuje nam ona, że enigmatyczną formę logarytmu możemy zamienić na znane nam potęgowanie.

Weźmy \(\log_28\). Jego wynik oznaczmy sobie przez \(x\).

\(\log_28=x\)

Porównując do naszego wzoru (tego po lewej stronie), \(a\) jest u nas równe \(2\), \(c\) jest równe \(8\), a \(b\) jest równe \(x\). Podstawiamy to teraz do drugiego wzoru (tego po prawej stronie):

\(2^x=8\)

Następny krok, to takie przekształcenie tego wyrażenia, by po obu stronach pojawiła się potęga o takiej samej podstawie. W naszym przypadku możemy zapisać \(8\) jako \(2^3\). Wstawiamy to do naszego równania.

\(2^x=2^3\)

Skoro mamy takie same podstawy, to i potęgi muszą być takie same. Mamy tu zapis „\(2\) do jakiejś nieznanej potęgi równa się \(2\) do trzeciej potęgi”. Stąd wiemy, że ta „jakaś potęga” musi być równa \(3\):

\(x=3\)

Jak pamiętasz, przez \(x\) oznaczyliśmy wynik naszego logarytmu:

\(\log_28=x\)

Ponieważ obliczyliśmy \(x\), możemy go teraz wstawić, tym samym podając wynik logarytmu:

\(\log_28=3\)

Przećwiczmy to na jeszcze jednym przykładzie. Obliczmy \(\log_39\). Najpierw oznaczmy sobie jego wynik przez \(x\):

\(\log_39=x\)

Zgodnie ze wzorem po lewej stronie \(a=3, b=x, c=9\). Podstawiamy to do wzoru po prawej stronie:

\(3^x=9\)

Teraz chcemy po obu stronach otrzymać potęgi o takiej samej podstawie. Zamienię więc \(9\) na \(3^2\):

\(3^x=3^2\)

Podstawy są takie same, więc możemy przyrównać do siebie wykładniki:

\(x=2\)

Teraz pokażę Ci dwa przykłady, które będą wyglądały bardzo podobnie, ale nasze działania będą nieco inne. Obliczmy \(\log_82\). Jego wynik oznaczmy sobie przez \(x\).

\(\log_82=x\)

Zgodnie z lewym wzorem \(a=8, b=x, c=2\). Podstawiamy to do prawego wzoru.

\(8^x=2\)

Tak jak poprzednio, chcemy uzyskać dwie potęgi o takiej samej podstawie. Tym razem jednak wygodniej nam będzie przekształcić lewą stronę, a nie (jak poprzednio) prawą. Zamieniam \(8\) na \(2^3\):

\((2^3)^x=2\)

Lewa strona nie jest jeszcze w postaci jednej potęgi, więc skorzystam ze wzoru na potęgowanie potęgi (możesz o tym poczytać tutaj):

\((2^3)^x=2^{3\cdot x}=2^{3x}\)

Wstawiam to do równania:

\(2^{3x}=2\)

Aby po obu stronach mieć potęgi, zapiszę sobie \(2\) jako \(2^1\)

\(2^{3x}=2^1\)

Teraz mogę przyrównać wykładniki:

\(3x=1\)

Dzielę obustronnie przez \(3\):

\(x=\large\frac{1}{3}\)

Przez \(x\) oznaczyliśmy wynik logarytmu:

\(\log_82=x\)

Stąd

\(\log_82=\large\frac{1}{3}\)

Przećwiczmy to na jeszcze jednym przykładzie. Weźmy \(\log_{27}3\). Najpierw oznaczę wynik tego działania jako \(x\).

\(\log_{27}3=x\)

Następnie zamienię logarytm na potęgowanie:

\(27^x=3\)

Chcę otrzymać po obu stronach potęgi o takiej samej podstawie. Łatwiej będzie mi przekształcić lewą stronę. Zamienię \(27\) na \(3^3\):

\((3^3)^x=3\)

Wykonuję potęgowanie potęgi:

\(3^{3x}=3\)

Teraz prawą stronę zamieniam na potęgę, zamieniając \(3\) na \(3^1\):

\(3^{3x}=3^1\)

Teraz mogę przyrównać do siebie wykładniki:

\(3x=1\)

Wykonuję obustronne dzielenie przez \(3\):

\(x=\large\frac{1}{3}\)

Ponieważ \(\log_{27}3=x\), to otrzymujemy następujący wynik:

\(\log_{27}3=\large\frac{1}{3}\)

Czasami może być tak, że obie strony wymagają przekształcenia. Na przykład w tym logarytmie:

\(\log_48 = x\)

Zamienię sobie logarytm na potęgowanie:

\(4^x=8\)

Jak widzimy, ósemki nie da się zapisać jako potęgi czwórki. Możemy natomiast obie liczby zapisać jako potęgę dwójki. \(4\) to \(2^2\), a \(8\) to \(2^3\). Wstawiam to do naszego równania:

\((2^2)^x=2^3\)

Wykonuję potęgowanie potęgi po lewej stronie:

\(2^{2x}=2^3\)

Przyrównujemy do siebie oba wykładniki:

\(2x=3\)

Dzielę obustronnie przez dwa:

\(x=\large\frac{3}{2}\)

\(\log_48 = x\), dlatego

\(\log_48 = \large\frac{3}{2}\)

Do tej pory w logarytmach pojawiały nam się same liczby naturalne. Teraz zobaczymy, co się stanie, jeśli pojawią się ułamki. Na początek wyznaczmy \(\log_3\large\frac{1}{3}\)

Najpierw, jak zawsze, oznaczamy wynik logarytmu jako \(x\)

\(\log_3\large\frac{1}{3}=x\)

Następnie zamieniamy logarytm na potęgowanie:

\(3^x=\large\frac{1}{3}\)

Teraz chcemy, żeby po obu stronach były potęgi o takich samych podstawach. U mnie tą podstawą będzie \(3\). Aby z \(\large\frac{1}{3}\) zrobić \(3\), muszę posłużyć się ujemną potęgą. Tu możesz o tym poczytać.

\(\large\frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^1=(\frac{3}{1})^{-1}=3^{-1}\)

Wstawiam to do równania:

\(3^x=3^{-1}\)

Teraz mogę przyrównać potęgi:

\(x=-1\)

A ponieważ przez \(x\) oznaczyliśmy sobie \(\log_3\large\frac{1}{3}\), to

\(\log_3\large\frac{1}{3}=-1\)

Teraz nieco trudniejszy przykład: \(\log_{\frac{1}{2}}16\). Najpierw jak zawsze oznaczamy sobie wynik logarytmu jako \(x\):

\(\log_{\frac{1}{2}}16=x\)

Zamieniamy logarytm na potęgowanie:

\(\large(\frac{1}{2})^x=16\)

Teraz sprowadzamy sobie to do jednej potęgi. U mnie będzie to \(2\). Najpierw zamienię prawą stronę. \(16\) to \(2^4\).

\(\large(\frac{1}{2})^x=2^4\)

Teraz lewa strona:

\(\large\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{1}=(\frac{2}{1})^{-1}= 2^{-1}\)

Wstawiam to do naszego równania:

\((2^{-1})^x=2^4\)

Wykonuję potęgowanie potęgi:

\(2^{-x}=2^4\)

Teraz możemy porównać do siebie wykładniki:

\(-x=4\)

Mnożę obustronnie przez \(-1\):

\(x=-4\)

Stąd \(\log_{\frac{1}{2}}16=-4\)

Sprawa jest chyba najbardziej skomplikowana, gdy w logarytmie występują pierwiastki, ale to też ogarniemy 🙂 Obliczmy \(\log_4\sqrt[3]{4}\). Najpierw oznaczę wynik logarytmu jako \(x\), a następnie zamienię logarytm na potęgowanie:

\(\log_4\sqrt[3]{4}=x\)

\(4^x=\sqrt[3]{4}\)

Teraz chcemy uzyskać po obu stronach potęgi o takiej samej podstawie. U mnie będzie to \(\sqrt[3]{4}\). Jak pewnie pamiętasz (jeśli nie pamiętasz, to pisałam o tym tutaj) \(4\) to inaczej \(\sqrt[3]{4}^3\). Wstawiam to do naszego równania:

\((\sqrt[3]{4}^3)^x=\sqrt[3]{4}\)

Wykonuję potęgowanie potęgi:

\(\sqrt[3]{4}^{3x}=\sqrt[3]{4}\)

Aby mieć potęgę również po prawej stronie, zamiast \(\sqrt[3]{4}\) zapisuję \(\sqrt[3]{4}^1\)

\(\sqrt[3]{4}^{3x}=\sqrt[3]{4}^1\)

Gdy mamy już takie same podstawy, przyrównujemy wykładniki:

\(3x=1\)

Dzielę obustronnie przez \(3\):

\(x=\large\frac{1}{3}\)

Stąd \(\log_4\sqrt[3]{4}=\large\frac{1}{3}\)

Teraz nieco trudniejszy przykład: \(\log_77\sqrt{7}\):

\(\log_77\sqrt{7}=x\)

\(7^x=7\sqrt{7}\)

Teraz sprowadzamy obie strony do takiej samej podstawy. U mnie będzie to \(\sqrt{7}\). \(7\) możemy zapisać jako \(\sqrt{7}^2\). Wstawiam to do równania:

\((\sqrt{7}^2)^x=\sqrt{7}^2\cdot\sqrt{7}\)

Po lewej stronie wykonuję potęgowanie potęgi:

\(\sqrt{7}^{2x}=\sqrt{7}^2\cdot\sqrt{7}\)

Po prawej natomiast mamy mnożenie potęg, więc wykładniki się dodają:

\(\sqrt{7}^{2x}=\sqrt{7}^2\cdot\sqrt{7}^1\)

\(\sqrt{7}^{2x}=\sqrt{7}^3\)

Mamy już takie same podstawy, więc możemy przyrównać wykładniki:

\(2x=3\)

\(x=\large\frac{3}{2}\)

________________________________

Może się zdarzyć tak, że dostaniesz logarytm, który nie ma podstawy, na przykład \(\log100\). Jeśli nie ma podstawy, to znaczy, że jest ona równa \(10\). Czyli \(\log100\) to to samo, co \(\log_{10}100\).

Na sam koniec dwa charakterystyczne logarytmy:

\(\log_aa=1\)

Wynika to z tego, że jakakolwiek liczba podniesiona do pierwszej potęgi to wciąż ta sama liczba. Na przykład:

\(\log_33=x\)

\(3^x=3\)

\(3^x=3^1\)

\(x=1\)

\(\log_33=1\)

\(\log_a1=0\)

Dzieje się tak dlatego, że jakakolwiek liczba podniesiona do zerowej potęgi daje nam jeden. Na przykład:

\(\log_51=x\)

\(5^x=1\)

\(1=5^0\)

\(5^x=5^0\)

\(x=0\)

\(\log_51=0\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!