Prawdopodobieństwo

Obliczanie prawdopodobieństwa

Dziś będzie krótko (w końcu!). Opowiem o tym, jak obliczać prawdopodobieństwo i pokażę Ci to na przykładach.

Sam opis wzoru, którego będziemy dziś używać, byłby tak enigmatyczny, że postanowiłam od razu przejść do przykładów.

Powiedzmy, że mamy w pudełku \(5\) kulek czerwonych, \(8\) kulek zielonych i \(12\) kulek czarnych. Obliczmy prawdopodobieństwo, że losowo wyciągnięta z pudełka kulka będzie czerwona.

Najpierw określamy sobie zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy odbliczyć i oznaczamy je wielką literą (najczęściej \(A\)). My chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosujemy czerwoną kulkę, dlatego zapisujemy:

\(A\) – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana kulka będzie czerwona

Teraz chcemy obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia, czyli \(P(A)\). Wzór wygląda następująco:

\(P(A) = \large\frac{|A|}{|\Omega|}\)

\(|A|\) oznacza liczbę sposobów, na które może zajść zdarzenie, którego prawdopodobieństwo liczymy. Czyli u nas \(|A|\) oznacza liczbę sposobów, na które możemy wylosować czerwoną kulkę. Czerwonych kulek mamy \(5\), więc na tyle sposobów możemy wylosować czerwoną kulkę. Zatem \(|A|=5\).

\(|\Omega|\) oznacza liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych. Co to są te zdarzenia elementarne? Są to wszystkie możliwe zdarzenia, które mogą zajść w rozważanej sytuacji. U nas takim zdarzeniem jest wylosowanie kulki (jakiejkolwiek). Kulek mamy łącznie \(25\), zatem na \(25\) sposobów możemy wylosować kulkę. Stąd \(|\Omega|=25\).

Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kulki:

\(P(A)=\large\frac{5}{25}\)

Prawdopodobieństwo przedstawiamy w formie nieskracalnego ułamka:

\(P(A)=\large\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{25}^5}=\frac{1}{5}\)

Możemy teraz dać odpowiedź:

Odp: Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kulki wynosi \(\large\frac{1}{5}\).

Inne zadanie: ze zbioru liczb naturalnych od \(1\) do \(40\) losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba będzie podzielna przez \(7\).

Najpierw określamy zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy policzyć:

\(A\) – zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę podzielną przez \(7\)

Teraz wyznaczamy \(|A|\) oraz \(|\Omega|\). \(|A|\) to liczba sposobów, na ktore możemy wylosować liczbę podzielną przez \(7\). W naszym zbiorze są to następujące liczby: \(7\), \(14\), \(21\), \(28\), \(35\). Możemy więc taką liczbę wylosować na \(5\) sposobów. Stąd \(|A|=5\).

\(|\Omega|\) to liczba sposobów, na które możemy wylosować dowolną liczbę z zadanego przedziału. W przedziale od \(1\) do \(40\) jest \(40\) liczb, dlatego dowolną liczbę możemy wylosować na \(40\) sposobów. Stąd \(|\Omega|=40\). Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo, czyli \(P(A)\):

\(P(A)=\large\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{5}{40}=\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{40}^8}=\frac{1}{8}\)

Odp: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(7\) wynosi \(\large\frac{1}{8}\).

Jak być może zauważyłeś, w podanych przeze mnie przykładach mieliśmy zawsze jedno losowanie: losowaliśmy jedną kulkę oraz jedną liczbę. Sprawa nieco się komplikuje, gdy tych losowań jest kilka. Ale o tym następnym razem 🙂

Na koniec jeszcze jedna uwaga: prawdopodobieństwo zawsze jest liczbą od \(0\) do \(1\). Jeśli więc \(P(A)\) wyjdzie Ci ujemne albo większe od \(1\) to na pewno zrobiłeś błąd – a warto zwrócić na to uwagę, bo za takie rozwiązanie automatycznie dostajemy \(0\) pkt.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!