Potęgi

Potęga o ułamkowym wykładniku

Zazwyczaj mamy do czynienia z potęgą, której wykładnik jest liczbą całkowitą, na przykład: \(3^5, 6^{-2}\). Dziś zajmiemy się takimi potęgami, które mają ułamkowy wykładnik, na przykład \(2^{\large\frac{3}{4}}\).

Zacznijmy od podstawowego wzoru:

\(\large a^{\large\frac{1}{n}}=\sqrt[n]a\)

Oznacza to po prostu tyle, że potęgę o ułamkowym wykładniku możemy zamienić na pierwiastek. Wtedy mianownik naszej potęgi wędruje nad „dzióbek” pierwiastka. Przykłady:

  • \(6^{\large\frac{1}{5}}=\sqrt[5]6\)
  • \(4^{\large\frac{1}{3}}=\sqrt[3] 4\)
  • \(2^{\large\frac{1}{2}}=\sqrt[2] 2 = \sqrt{2}\)

W jakich zadaniach możemy to wykorzystać? Na przykład w takim:

Oblicz:
\(36^{\large\frac{1}{2}}\)

Gdy mamy ułamek w potędze, to za bardzo nie wiadomo, jak to obliczyć. Natomiast z pierwiastkami potrafimy sobie radzić. Dlatego zaczniemy od skorzystania ze wzoru:

\(\large a^{\large\frac{1}{n}}=\sqrt[n]a\)

\(36^{\large\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{36}\)

Powstało nam coś, co bez problemu jesteśmy w stanie obliczyć:

\(\sqrt[2]{36}=6\)

Inny przykład:

Oblicz:
\(27^{\large\frac{1}{3}}\)

Najpierw za pomocą wzoru zamienimy potęgę na pierwiastek:

\(27^{\large\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}\)

Teraz możemy go obliczyć:

\(\sqrt[3]{27}=3\)

Mamy więc pierwsze zastosowanie: zamieniamy potęgę na pierwiastek po to, by obliczyć jej wartość. Łatwiej jest obliczyć \(\sqrt[4]{16}\) niż \(16^{\large\frac{1}{4}}\).

__________________________________________________

Teraz inne zadanie, w którym będziemy potrzebować naszego wzoru:

Zapisz w postaci potęgi liczby \(2\):
\(\sqrt[4]2\)

Mamy zapisać liczbę w postaci potęgi dwójki, dlatego teraz będziemy nasz wzór stosować w drugą stronę, czyli będziemy przechodzić od pierwiastka do potęgi.

\(\large\sqrt[n]a= a^{\large\frac{1}{n}}\)

\(\sqrt[4]2=2^{\large\frac{1}{4}}\)

Kolejny przykład:

Zapisz w postaci potęgi liczby \(2\):
\(\sqrt 2\)

Tutaj sprawa trochę się komplikuje, bo nad „dzióbkiem” pierwiastka nie mamy żadnej liczby. W tej sytuacji musimy ją po prostu dopisać. Jeśli tej liczby nie ma, to domyślnie mamy pierwiastek drugiego stopnia.

\(\sqrt 2=\sqrt[2]2\)

Teraz już możemy skorzystać ze wzoru:

\(\large \sqrt[n]a= a^{\large\frac{1}{n}}\)

\(\sqrt[2]2=2^{\large\frac{1}{2}}\)

Spróbujmy teraz zrobić takie zadanie:

Zapisz w postaci potęgi liczby \(2\):
\(\sqrt[5] 8\)

Mamy zapisać w postaci potęgi, no to lecimy ze wzorem:

\(\large \sqrt[n]a=a^{\large\frac{1}{n}}\)

\(\sqrt[5]8=8^{\large\frac{1}{5}}\)

No i wszystko fajnie, tylko miała być potęga liczby \(2\), a jest potęga liczby \(8\). Szczęśliwie jednak \(8\) to inaczej \(2^3\). Wstawiamy:

\(8^{\large\frac{1}{5}}=(2^3)^{\large\frac{1}{5}}\)

Chcemy mieć jedną potęgę, więc, aby pozbyć się nawiasów, wykonujemy potęgowanie potęgi:

\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)

\((2^3)^{\large\frac{1}{5}}=2^{3\cdot \large\frac{1}{5}}=2^{\large\frac{3}{5}}\)

Mamy więc kolejne zastosowanie tego wzoru – zapisywanie wyrażenia w postaci potęgi jakiejś liczby. Przy okazji – zwróć uwagę, co nam powstało. Do tej pory mieliśmy potęgi typu \(a^{\large\frac{1}{n}}\), na przykład \(2^{\large\frac{1}{5}}\). Teraz powstała nam potęga typu \(a^{\large\frac{m}{n}}\), czyli \(2^{\large\frac{3}{5}}\). Różnica jest taka, że na górze mamy inną liczbę, niż \(1\). Nauczymy się teraz radzić sobie z takimi potęgami.

Wzór wygląda tak:

\(\large a^{\large\frac{\class{tc5}{m}}{\class{tc2}{n}}}=\sqrt[\class{tc2}{n}]a ^{\text{ }\class{tc5}{m}}\)

Ja zapamiętuję go w ten sposób, że to, co jest niżej w ułamku, będzie też niżej w pierwiastku, a to, co jest wyżej w ułamku, będzie też wyżej w pierwiastku.

Zobaczmy to na przykładach:

  • \(\large 2^{\large\frac{\class{tc5}{3}}{\class{tc2}{4}}}=\sqrt[\class{tc2}{4}]2 ^{\text{ }\class{tc5}{3}}\)
  • \(\large 4^{\large\frac{\class{tc5}{2}}{\class{tc2}{3}}}=\sqrt[\class{tc2}{3}]4 ^{\text{ }\class{tc5}{2}}\)
  • \(\large 6^{\large\frac{\class{tc5}{2}}{\class{tc2}{5}}}=\sqrt[\class{tc2}{5}]6 ^{\text{ }\class{tc5}{2}}\)

Przećwiczmy to w zadaniach.

Oblicz:
\(125^{\large\frac{2}{3}}\)

Tak jak poprzednio, zaczniemy od pozbycia się ułamkowej potęgi.

\(\large a^{\large\frac{m}{n}}=\sqrt[n]a ^{\text{ }m}\)

\(125^{\large\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{125}^2\)

\(\sqrt[3]{125}\) to coś, co potrafimy obliczyć – jest to \(5\). Wstawiamy to do naszego działania.

\(\sqrt[3]{125}^2=5^2\)

Dalej już z górki:

\(5^2=25\)

Inny przykład:

Oblicz:
\(16^{\large\frac{3}{4}}\)

Chcemy się pozbyć ułamkowej potęgi:

\(\large a^{\large\frac{m}{n}}=\sqrt[n]a ^{\text{ }m}\)

\(16^{\large\frac{3}{4}}=\sqrt[4] {16}^3\)

Szukamy teraz, ile to jest \(\sqrt[4]{16}\), czyli próbujemy znaleźć liczbę, która podniesiona do czwartej potęgi da nam \(16\). Taką liczbą jest \(2\) (\(2^4=16\)). Wstawiamy:

\(\sqrt[4] {16}^3=2^3\)

No i ostatni krok – potęgowanie.

\(2^3=8\)

________________________________________

Tak jak w przypadku poprzedniego wzoru, tak i teraz możemy nasz wzór stosować również w drugą stronę. W następnym zadaniu tak właśnie będzie.

Zapisz w postaci potęgi liczby \(3\):
\(\sqrt[3] 3 ^4\)

Mamy zapisać to wyrażenie w postaci potęgi, potrzebujemy więc wzoru, który pozwoli nam zamienić pierwiastek w potęgę.

\(\large\sqrt[n]a ^{\text{ }m}=a^{\large\frac{m}{n}}\)

Jest to ten sam wzór, co poprzednio, tylko zapisany w odwrotnej kolejności. No to podstawiamy 🙂

\(\sqrt[3]3 ^{\text{ }4}=\large 3^{\large\frac{4}{3}}\)

I tyle 🙂 Teraz trudniejszy przykład:

Zapisz w postaci potęgi liczby \(3\):
\(\sqrt[4] {27} ^2\)

Tak jak poprzednio, zaczynamy od wzoru:

\(\large\sqrt[n]a ^{\text{ }m}=a^{\large\frac{m}{n}}\)

\(\sqrt[4]{27} ^{\text{ }2}= 27^{\large\frac{2}{4}}\)

No wszystko fajnie, tylko miała być potęga liczby \(3\), a jest potęga liczby \(27\). No to musimy zapisać inaczej liczbę \(27\). Szczęśliwie jest to \(3^3\). Wstawiamy:

\( 27^{\large\frac{2}{4}}= (3^3)^{\large\frac{2}{4}}\)

Nie jest to jeszcze gotowy wynik – pozbywamy się nawiasów, wykonując potęgowanie potęgi:

\( (3^3)^{\large\frac{2}{4}}=3^{3\cdot \large\frac{2}{4}}=3^{\large\frac{6}{4}}\)

W zasadzie to już jest poprawny wynik, ale możemy go jeszcze uładnić, skracając ułamek:

\(3^{\large\frac{6}{4}}=3^{\large\frac{\cancel{6}^3}{\cancel{4}^2}}=3^{\large\frac{3}{2}}\)

I jeszcze taki przykład:

Zapisz w postaci potęgi liczby \(3\):
\(\sqrt 3 ^2\)

Znowu zaczynamy od wzoru:

\(\large\sqrt[n]a ^{\text{ }m}= a^{\large\frac{m}{n}}\)

Nie mamy żadnej liczby nad dzióbkiem, a więc domyślnie jest ona równa \(2\).

\(\sqrt 3 ^2=\sqrt[2]3 ^{\text{ }2}=3^{\large\frac{2}{2}}\)

Możemy sobie skrócić nasz ułamek

\( 3^{\large\frac{2}{2}}=3^{\large\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}^1}} = 3^1=3\)

Ten przykład doprowadził nas do kolejnego wzoru:

\(\sqrt[n]a ^{\text{ }n}=a\)

Czyli jeśli w potędze jest taka sama liczba, jak nad dzióbkiem pierwiastka, to możemy się pozbyć i potęgi, i pierwiastka.

_____________________________________

W przykładach, które pojawiły się do tej pory, mieliśmy okazję przećwiczyć stosowanie potęgi o ułamkowym wykładniku w połączeniu z potęgowaniem potęgi. Teraz przećwiczymy także mnożenie i dzielenie potęg.

Zapisz w postaci potęgi liczby \(3\):
\(\large\frac{\sqrt 3}{3}\)

Mamy zapisać w postaci potęgi, no to wiadomo, co robimy – korzystamy ze wzoru, który zamienia pierwiastek w potęgę:

\(\large\sqrt[n]a= a^{\large\frac{1}{n}}\)

\(\large\frac{\sqrt 3}{3}=\frac{3^{\large\frac{1}{2}}}{3}\)

OK, mamy już dwie trójki, to teraz fajnie by było zrobić z nich jedną trójkę. Mamy tu dzielenie potęg, więc skorzystamy z tego wzoru:

\(\large\frac{a^m}{a^n}=\)\(a^{m-n}\)

Aby z niego skorzystać, musimy mieć dwie potęgi, dlatego zamiast \(3\) zapiszemy \(3^1\):

\(\large\frac{3^{\large\frac{1}{2}}}{3}=\frac{3^{\large\frac{1}{2}}}{3^1}\)\(=3^{\large\frac{1}{2}-1}\)

Wykonujemy odejmowanie:

\(3^{\large\frac{1}{2}-1}=3^{\large\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}=3^{-\large\frac{1}{2}}\)

Kolejny przykład:

Zapisz w postaci potęgi liczby \(7\):
\(\sqrt{7\sqrt[3]7}\)

Tak jak poprzednio, mamy zapisać w postaci potęgi, więc potrzebujemy wzoru, który z pierwiastka zrobi potęgę.

\(\large\sqrt[n]a= a^{\large\frac{1}{n}}\)

Najpierw pozbędziemy się pierwiastka, który jest w środku (można też zacząć od zewnętrznego, w obu przypadkach będzie dobrze).

\(\sqrt{7\sqrt[3]7}=\sqrt{7\cdot 7^{\large\frac{1}{3}}}\)

Teraz zrobimy sobie jedną potęgę pod pierwiastkiem, wykonując mnożenie potęg.

\(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\)

\(\sqrt{7\cdot 7^{\large\frac{1}{3}}}=\sqrt{7^1\cdot 7^{\large\frac{1}{3}}}=\sqrt{7^{1+\large\frac{1}{3}}}=\sqrt{7^{\large\frac{3}{3}+\large\frac{1}{3}}}=\sqrt{7^{\large\frac{4}{3}}}\)

Dobra, to teraz, gdy już mamy wszystko uporządkowane, możemy się pozbyć zewnętrznego pierwiastka:

\(\large\sqrt[n]a= a^{\large\frac{1}{n}}\)

\(\sqrt{7^{\large\frac{4}{3}}}=\sqrt[2]{7^{\large\frac{4}{3}}}=(7^{\large\frac{4}{3}})^{\large\frac{1}{2}}\)

Na koniec wykonujemy potęgowanie potęgi.

\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)

\((7^{\large\frac{4}{3}})^{\large\frac{1}{2}}=7^{\large\frac{4}{3}\cdot \large\frac{1}{2}}=7^{\large\frac{4}{6}}\)

Mamy już w zasadzie gotowy wynik, ale warto jeszcze skrócić ułamek:

\(7^{\large\frac{4}{6}}=7^{\large\frac{\cancel{4}^2}{\cancel{6}^3}}=7^{\large\frac{2}{3}}\)

______________________________________

Mamy już ogarnięty ułamkowy wykładnik w połączeniu z mnożeniem i dzieleniem potęg oraz potęgowaniem potęgi. Do pełni szczęścia brakuje nam jeszcze potęgi o ujemnym wykładniku.

Weźmy na przykład \(2^{-\large\frac{3}{4}}\).

Na potęgi o ujemnym wykładniku mamy taki wzór:

\(\large a^{-n}=(\frac{1}{a})^n\)

No to działamy:

\(2^{-\large\frac{3}{4}}=\large(\frac{1}{2})^{\large\frac{3}{4}}\)

Dalej robimy to samo, co do tej pory:

\(\large a^{\large\frac{m}{n}}=\sqrt[n]a ^{\text{ }m}\)

\(\large(\frac{1}{2})^{\large\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{\large\frac{1}{2}} ^{\text{ }3}\)

Możemy sobie te dwa kroki skleić w jeden wzór:

\(\large a^{-\large\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{\large\frac{1}{a}} ^{\text{ }m}\)

W ten sposób w jednym kroku przejdziemy od potęgi do pierwiastka. Przykład:

  • \(\large(\frac{4}{3})^{-\large\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{\large\frac{3}{4}}^2\)

Dobra, na dziś to tyle 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!