Potęgi

Potęgi o ujemnym wykładniku

Ostatnio pisałam o działaniach na potęgach – czyli o mnożeniu i dzieleniu, a także potęgowaniu potęgi. Dziś będzie o tym, co znaczy minus w potędze i jak możemy go wykorzystać. Wspomnę też o potęgowaniu ułamków dziesiętnych i liczb mieszanych.

Jak podnieść liczbę do ujemnej potęgi?

Wzór, który jest podany w tablicach rozdawanych na maturze, wygląda tak:

\(a^{-n}=\large \frac{1}{a^n}\)

Ja jednak zdecydowanie bardziej wolę taki wzór:

\(\large(\frac{a}{b})^{-n}= (\frac{b}{a})^n\)

W nim dużo wyraźniej widać, że ujemna potęga po prostu odwraca nam ułamek do góry nogami. Na przykład:

\(\large(\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}\)

Jak widzisz, przekształcenie polegało na tym, że zabrałam z potęgi minus, a ułamek odwróciłam do góry nogami. Można je też wykonać w drugą stronę:

\(\large(\frac{2}{5})^3 = (\frac{5}{2})^{-3}\)

Ta operacja przydaje się przy wykonywaniu działań na potęgach – w ten sposób często możemy sobie zrobić taką samą podstawę albo wykładnik potęgi (w dalszej części posta podam kilka przykładów). Dodatkowo – po prostu do obliczania, bo umówmy się – dużo łatwiej jest obliczyć \(\large(\frac{4}{3})^2 \) niż \(\large(\frac{3}{4})^{-2}\).

Sprawa jest prosta, gdy mamy do podniesienia ułamek zwykły albo niewłaściwy (czyli taki, w którym jasno widać, gdzie ma górę, a gdzie dół, więc zamiana góry z dołem nie stanowi wielkiej filozofii). Co jednak, gdy nie mamy ułamka zwykłego, tylko dziesiętny? Albo liczbę mieszaną?

W obu przypadkach musimy sobie ten ułamek zamienić na właśnie taki, który ma jasno zdefiniowane „górę” i „dół” – czyli właśnie na ułamek zwykły lub niewłaściwy. Swoją drogą warto to robić zawsze przy podnoszeniu do potęgi, nie tylko wtedy, gdy jest ona ujemna. Zacznę od ułamków dziesiętnych.

Gdy na przykład chcemy podnieść do potęgi \(0,2\) to wystarczy, że zamienimy ten ułamek na \(\large\frac{2}{10}\). Możemy go dodatkowo skrócić i otrzymamy \(\large\frac{1}{5}\). Teraz taki ułamek łatwo możemy potęgować:

\(\large 0,2^{-3}=(\frac{2}{10})^{-3}=(\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{10}^5})^{-3}=(\frac{1}{5})^{-3}=(\frac{5}{1})^3 = \frac{125}{1}=125\)

Inny przykład:

\(\large 1,15^{-2}= (\frac{115}{100})^{-2}=(\frac{\cancel{115}^{23}}{\cancel{100}^{20}})^{-2}=(\frac{23}{20})^{-2}=(\frac{20}{23})^2 = \frac{400}{529}\)

Gdy mamy liczbę mieszaną, to zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy, „wciągając” całości do licznika. Na przykład \(\large 1\frac{2}{5}\) możemy zamienić na \(\large\frac{7}{5}\) i teraz już bez problemu podniesiemy go do potęgi:

\(\large (1\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{7}{5})^{-2}=(\frac{5}{7})^2=\frac{25}{49}\)

Inny przykład:

\(\large (2\frac{1}{3})^{-3}=(\frac{7}{3})^{-3}=(\frac{3}{7})^3=\frac{27}{343}\)

OK, wszystko pięknie, gdy do ujemnej potęgi mamy podnieść ułamek, ale co, gdy tego ułamka nie mamy? Odpowiedź jest prosta – jak go nie mamy, to go sobie stwórzmy! 🙂

Jeśli na przykład chcemy podnieść \(4\) do potęgi \(-3\), to wystarczy, że \(4\) zapiszemy jako \(\large\frac{4}{1}\) – i już mamy ułamek 🙂

\(4^{-3} = \large(\frac{4}{1})^{-3} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\)

Jeszcze jeden przykład:

\(11^{-2} = \large(\frac{11}{1})^{-2} = (\frac{1}{11})^2 = \frac{1}{121}\)

Tyle teorii, a teraz pokażę Ci, gdzie operacje na takich potęgach będą Ci potrzebne.

Potęgi o ujemnym wykładniku w praktyce

Tutaj ćwiczyliśmy działania na potęgach. Pokażę Ci teraz, jak będą one wyglądały, gdy pojawią się w nich ujemne wykładniki. Dowiesz się też, czy gdy mamy ujemną potęgę, to zawsze trzeba odwracać ułamek do góry nogami (spoiler – nie).

Jak pewnie pamiętasz, żeby wykonywać działania na potęgach, potrzebujemy albo takiej samej podstawy, albo takiego samego wykładnika. Jeśli więc już to mamy, to zupełnie nie ma potrzeby odwracać liczby do góry nogami. Już pokazuję, o co mi chodzi.

Jeśli mamy na przykład takie działanie: \(6^5\cdot 6^{-3}\) – to nie ma sensu pozbywać się ujemnej potęgi i odwracać liczby do góry nogami, bo już mamy takie same podstawy. Wykonujemy wtedy najzwyklejsze na świecie mnożenie potęg:

\(6^5\cdot 6^{-3}=6^{5+(-3)}=6^{5-3}=6^2\)

Podobnie przy dzieleniu:

\(\large\frac{3^5}{3^{-4}}=3^{5-(-4)}=3^{5+4}=3^9\)

Podobnie wygląda sytuacja, gdy już mamy takie same wykładniki – wtedy do samego działania na potęgach nie potrzebujemy pozbywać się minusa z wykładnika. Możemy to zrobić ewentualnie później, jeśli taką potęgę chcemy obliczyć.

\(6^{-3}\cdot 5^{-3} = (6\cdot5)^{-3} = 30^{-3}\)

Jeśli chciałabym jedynie sprowadzić wszystko do jednej potęgi, to już to zrobiłam i nie ma potrzeby pozbywać się minusa. Jeśli natomiast chcę obliczyć, ile to jest, to tu już muszę zamienić wykładnik na dodatni:

\(30^{-3}=\large(\frac{30}{1})^{-3}=(\frac{1}{30})^{3}=\frac{1}{27000}\)

Natomiast jeśli nie mamy ani takiej samej podstawy, ani takiego samego wykładnika, to zamiana wykładnika na dodatni bardzo często może nam pomóc. Weźmy na przykład takie działanie: \(4^7\cdot \large(\frac{1}{4})^{-3}\). Nie mamy ani takiej samej podstawy, ani takiego samego wykładnika. Widzimy jednak, że podstawy wyglądają podobnie i gdy odwrócimy jedną z nich, to już będą takie same:

\(\large4^7\cdot (\frac{1}{4})^{-3} = 4^7\cdot (\frac{4}{1})^3 = 4^7 \cdot 4^3 = 4^{7+3}=4^{10}\)

Czasami może to nie być widoczne na pierwszy rzut oka. Tak się dzieje na przykład wtedy, gdy mamy ułamki dziesiętne. W działaniu \(0,5^3\cdot 2^4\) trzeba najpierw zauważyć, że \(0,5\) to inaczej \(\large\frac{1}{2}\). Gdy dokonamy tej zamiany, będzie już dużo łatwiej:

\(\large 0,5^3\cdot 2^4=(\frac{1}{2})^3 \cdot 2^4 = (\frac{2}{1})^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-3+4}=2^1=2\)

Zwróć uwagę, że możemy nie tylko zamieniać ujemną potęgę na dodatnią, ale również dodatnią na ujemną, tak jak zrobiłam w tym przykładzie. Wszystko zależy od tego, czego akurat potrzebujemy.

Innym przypadkiem, w którym łatwość uzyskania takiej samej podstawy nie jest od razu widoczna, są liczby mieszane. Na przykład w działaniu \(\large (1\frac{1}{4})^3:(\frac{4}{5})^{-2}\) zobaczymy, że podstawy są podobne, gdy zamienimy \(\large 1\frac{1}{4}\) na \(\large \frac{5}{4}\):

\(\large (1\frac{1}{4})^3:(\frac{4}{5})^{-2}=(\frac{5}{4})^3:(\frac{4}{5})^{-2}=(\frac{5}{4})^3:(\frac{5}{4})^{2}=(\frac{5}{4})^{3-2}=(\frac{5}{4})^1=\frac{5}{4}\)

To były przykłady sytuacji, gdy mogliśmy sprowadzić dwie potęgi do tej samej podstawy. Mogą być też takie sytuacje, w których łatwo możemy sprowadzić potęgi do tego samego wykładnika. Jeśli mamy wykonać działanie \(\large 3^{-5}\cdot (\frac{1}{4})^5\), to o ile na taką samą podstawę mamy marne szanse, o tyle na taki sam wykładnik już jak najbardziej – wystarczy, że ujemną potęgę zamienię na dodatnią:

\(\large 3^{-5}\cdot (\frac{1}{4})^5=(\frac{3}{1})^{-5}\cdot (\frac{1}{4})^5=(\frac{1}{3})^{5}\cdot (\frac{1}{4})^5=(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4})^5=(\frac{1}{12})^5\)

Inny przykład:

\(\large(\frac{5}{8})^{-3}:(\frac{4}{25})^{3}=(\frac{8}{5})^{3}:(\frac{4}{25})^{3}=(\frac{8}{5}:\frac{4}{25})^{3}=(\frac{8}{5}\cdot\frac{25}{4})^{3}=\)

\(\large=(\frac{\cancel{8}^2}{5}\cdot\frac{25}{\cancel{4}^1})^{3}=(\frac{2}{\cancel{5}^1}\cdot\frac{\cancel{25}^5}{1})^{3}=(\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{1})^{3}=(\frac{10}{1})^3=10^3=1000\)

__________________________

Na koniec jedna bardzo ważna uwaga – ujemna potęga nie zmienia znaku podstawy! Jeśli podstawa była ujemna, to po jej odwróceniu do góry nogami nadal będzie ujemna. Jedyne, co może zmienić jej znak, to parzysta potęga. Pokażę Ci to na dwóch przykładach (z nieparzystą i parzystą potęgą):

\(\large(-\frac{3}{7})^{-3}=(-\frac{7}{3})^{3} = -\frac{343}{27}\)

\(\large(-\frac{1}{2})^{-4}=(-\frac{2}{1})^{4} = \frac{16}{1}=16\)

W drugim przypadku minus zniknął dlatego, że potęga była parzysta, a nie dlatego, że była ujemna. Tak samo ujemna potęga nie sprawi, że minus w podstawie się pojawi – jeśli podstawa była dodatnia, to po podniesieniu do ujemnej potęgi nadal będzie dodatnia.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!