Procenty

Procenty – zadania maturalne

W tym poście zebrałam zadania maturalne z procentów z lat 2015-2019. Jeśli coś jest niejasne, pytaj 🙂

Zadanie 3/maj 2015

Kwotę \(1000\text{ zł}\) ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

A. \(1000\cdot\large(\)\(1-\large\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})\)
B. \(1000\cdot\large(\)\(1+\large\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100})\)
C. \(1000\cdot\large(\)\(1+\large\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})\)
D. \(1000\cdot\large(\)\(1-\large\frac{19}{100}\cdot\frac{4}{100})\)

Jeśli chodzi do lokaty, to mamy taki wzór:

\(K_n=K\cdot\large(1+\frac{p}{100})^n\)

W tym wzorze

  • \(K\) oznacza kwotę, którą wpłacamy na lokatę,
  • \(p\) to oprocentowanie w skali rocznej (wpisujemy bez procenta, czyli jeśli mamy oprocentowanie \(3\)% w skali rocznej, to \(p=3\)),
  • \(n\) to liczba lat, po której wypłacamy nasze pieniądze,
  • \(K_n\) to kwota, którą wypłacimy (czyli to, co wpłaciliśmy plus odsetki, które dostajemy w prezencie od banku).

My wpłacamy \(1000\) zł, a więc \(K=1000\). Lokata jest oprocentowana na \(4\)%, stąd \(p=4\). Kwotę wypłacamy po roku, więc \(n=1\). Gdyby nie istniał podatek, to po roku z banku wypłacilibyśmy tyle pieniędzy:

\(\hspace{2.5cm}K_n=1000\cdot\large(1+\frac{4}{100})^1\).

Jak coś jest podniesione do pierwszej potęgi, to tę potęgę możemy pominąć, czyli mamy po prostu

\(\hspace{2.5cm}K_n=1000\cdot\large(1+\frac{4}{100})\).

Nie skracam ułamków, bo są w nieskróconej formie w odpowiedziach.

No dobra, ale jeszcze jest ten podatek. Jest on naliczany nie od całek kwoty \(K_n\), tylko od samych odsetek (mamy to zapisane w treści zadania). W naszym wyrażeniu \(1000\cdot 1\) to to, co wpłacamy, a \(1000\cdot\frac{4}{100}\) to właśnie odsetki.

Z tych odsetek zabieramy \(19\)% podatku – czyli zostaje nam \(81\)% odsetek. A więc realnie nasze odsetki to nie \(1000\cdot\frac{4}{100}\), tylko \(81\%\cdot 1000\cdot\frac{4}{100}\). Ze względu na to, w jakiej formie są odpowiedzi, zapiszę \(81\)% jako \(\large\frac{81}{100}\). Ostatecznie więc z banku wypłacamy taką kwotę:

\(\hspace{2.5cm}K_n=1000(1+\large\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})\).

Odpowiedź C.

PS: Zwróć uwagę, że odpowiedzi A i D odpadają na starcie – w tym przypadku (ze względu na minus) wypłacilibyśmy z lokaty mniej, niż na nią wpłaciliśmy.

Zadanie 3/maj 2016

Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że

A. \(c=1,5a\)
B. \(c=1,6a\)
C. \(c=0,8a\)
D. \(c=0,16a\)

Zapiszmy przy pomocy symboli matematycznych to, co wiemy z zadania. Wiemy, że liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\). Zatem

\(\hspace{2.5cm}b=48\%a\)

Wiemy też, że liczba \(b\) stanowi \(32\%\) liczby \(c\). Stąd

\(\hspace{2.5cm}b=32\%c\)

Skoro \(b=48\%a\) i jednocześnie \(b=32\%c\), to możemy wysnuć wniosek, że

\(\hspace{2.5cm}48\%a=32\%c\)

Zamienię procenty na ułamki dziesiętne, bo taką formę mamy w odpowiedziach:

\(\hspace{2.5cm}0,48a=0,32c\)

Mamy sprowadzić to równanie do postaci „\(c\) = cośtam” (bo taką postać mają odpowiedzi). Podzielę więc je obustronnie przez to, co stoi przy \(c\), czyli przez \(0,32\):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{0,48a}{0,32}=c\)

Wpisuję w kalkulator działanie \(0,48:0,32\). Otrzymuję \(1,5\), stąd

\(\hspace{2.5cm}1,5a=c\)

Odpowiedź A.

Zadanie 4/maj 2017

Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o \(120\%\) i obecnie jest równa \(8910\). Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?

A. \(4050\)
B. \(1782\)
C. \(7425\)
D. \(7128\)

Rozwiążemy sobie to zadanie metodą na krzyż. Po lewej stronie będziemy zapisywać procenty, a po prawej liczbę zwierząt. Nasza wyjściowa populacja to \(100\%\) (zapisujemy po lewej stronie). Nie wiemy, ile to zwierząt, więc po prawej stronie zapisujemy \(x\).

Populacja wzrosła o \(120\%\) (ważne: O \(120\%\), a nie DO \(120\%\)), więc teraz jest to \(220\%\) – zapisujemy po lewej. Jest to \(8910\) zwierząt, więc po prawej zapisujemy \(8910\).

Oczywiście możesz zamienić strony i kolejność, ważne, żeby procenty były pod procentami, a liczba zwierząt pod liczbą zwierząt.

I teraz tak: łączymy kreską po skosie dwie liczby tam, gdzie jest to możliwe (możemy połączyć \(100\%\) i \(8910\), bo to dwie liczby, nie możemy połączyć \(220\%\) i \(x\), bo tu mamy tylko jedną liczbę*).

*Oczywiście jest to skrót myślowy, bo \(x\) też jest liczbą, tylko póki co nam nieznaną.

Teraz piszemy równanie. Zaczynamy od \(x=\), następnie stawiamy kreskę ułamkową.

\(\hspace{2.5cm}x=\text{ ————}\)

Na górze dajemy pomnożone przez siebie te dwie liczby, które połączyliśmy kreską, a na dole wpisujemy trzecią liczbę, która nam została.

\(\hspace{2.5cm}x=\large\frac{100\%\cdot 8910}{220\%}\)

Teraz trochę sobie poskracamy. Przede wszystkim możemy skrócić zera i procenty.

\(\hspace{2.5cm}x=\large\frac{100\cancel{\%}\cdot 891\cancel{0}}{22\cancel{0}\cancel{\%}}=\frac{100\cdot 891}{22}\)

Skracamy dalej:

\(\hspace{2.5cm}x=\large\frac{\cancel{100}^{50}\cdot 891}{\cancel{22}^{11}}=\frac{50\cdot \cancel{891}^{81}}{\cancel{11}^1}=\frac{50\cdot 81}{1}\)

Wykonujemy mnożenie:

\(\hspace{2.5cm}x=50\cdot 81=4050\)

Odpowiedź A.

Zadanie 4/maj 2018

Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\text{ zł}\). Przed obniżką ten rower kosztował

A. \(865,00\text{ zł}\)
B. \(850,15\text{ zł}\)
C. \(1000,00\text{ zł}\)
D. \(977,50\text{ zł}\)

Kolejne zadanie, które możemy rozwiązać metodą na krzyż. Po lewej stronie będziemy zapisywać procenty, a po prawej cenę roweru. Przed obiżką rower był w pełnej cenie, a więc \(100\%\). Nie wiemy, jaka to była cena, więc wstawiamy \(x\).

Cenę roweru obniżono o \(15\%\), a więc teraz jest to \(85\%\) wyjściowej ceny. Po obniżce kosztuje on \(850\)zł.

Łączymy kreską po skosie dwie liczby (możemy połączyć \(100\%\) oraz \(850\)zł).

Następnie zapisujemy równanie. Zaczynamy od \(x=\), następnie zapisujemy ułamek. Na górze dajemy pomnożone przez siebie \(100\%\) i \(850\)zł (czyli dwie liczby, które sią połączyły), a na dole zapisujemy \(85\%\), czyli to, co się nie połączyło.

\(\hspace{2.5cm}x=\large\frac{100\%\cdot 850\text{zł}}{85\%}\)

Teraz trochę sobie poskracamy.

\(\hspace{2.5cm}x=\large\frac{100\cancel{\%}\cdot 850\text{zł}}{85\cancel{\%}}=\frac{100\cdot \cancel{850}^{10}\text{zł}}{\cancel{85}^{1}}=\frac{100\cdot 10\text{zł}}{1}\)

Wykonujemy mnożenie:

\(\hspace{2.5cm}x=100\cdot 10\text{zł}=1000\text{zł}\)

Odpowiedź C.

Zadanie 3/maj 2019

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

A. \(1\%\)
B. \(25\%\)
C. \(33\%\)
D. \(75\%\)

Tutaj musimy zacząć od bardzo ważnej rzeczy, a mianowicie od tego, czym się różni procent od punktu procentowego. Procent to jest jakaś część całości, a punkt procentowy to, cytując Wikipedię, „jednostka różnicy między wartościami jednej wielkości a drugiej wielkości, podanymi w procentach”.

Tłumacząc to na język ludzki: powiedzmy, że w 2019 roku \(20\%\) Twojej klasy zdało egzamin.

Jeśli powiem, że w 2020 roku wynik był lepszy o \(50\) punktów procentowych, to znaczy, że zdało \(70\%\) klasy – \(20\%+50\%=70\%\). Punkt procentowy jest po prostu liczbą zapisaną ze znakiem procenta, nie określa części czegoś, tak jak procent.

Ale jeśli powiem, że w \(2020\) roku zdało o \(50\) procent więcej osób to znaczy, że w \(2020\) roku zdało \(30\%\) klasy. Dlaczego? Bo \(50\%\) to połowa, czyli zdało o połowę więcej, niż w zeszłym roku. Połowa z \(20\%\) to \(10\%\), czyli zdało \(20\%+10\%=30\%\). Procenta już nie rozpatrujemy w oderwaniu od wszystkiego – procent wyraża część czegoś.

Wracając do naszego zadania: bank obniżył prowizję o \(1\) punkt procentowy, a więc z \(4\%\) do \(3\%\).

Teraz pytanie – jakim procentem jest ta obniżka? Innymi słowy: jaką częścią \(4\%\) jest \(1\%\)? Odpowiedź brzmi: \(1\%\) stanowi \(\large\frac{1}{4}\) z \(4\%\).

\(\large\frac{1}{4}\) czegoś to inaczej \(25\%\), a więc odpowiedź B.

PS: Tak, wiem, że to jest porąbane i serio Ci współczuję.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!