Logarytmy Matura

Przygotowanie do matury – logarytmy

Logarytmy w karcie wzorów znajdują się w rozdziale nr 3. Znajdziesz tam wszystko, co będzie Ci potrzebne do rozwiązania zadań, nie musisz zapamiętywać żadnych dodatkowych wzorów.

Część wzorów w karcie obowiązuje tylko osoby zdające poziom rozszerzony, dlatego poniżej znajdziesz spis tych wzorów, które Cię obchodzą.

Arkusze maturalne wraz z zasadami oceniania znajdziesz tu. Podstawę programową znajdziesz tu (po lewej stronie znajduje się przycisk download; to, co Ciebie interesuje, zaczyna się na stronie 41). Kartę wzorów, która zostanie Ci udostępniona na maturze, znajdziesz tu. Pozostałe posty z tej serii oraz rozwiązania zadań maturalnych znajdziesz tu.

Wzory i informacje, które są w karcie

Definicja logarytmu

\(\hspace{2.5cm}\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a^b = c\)

Informacja, że logarytm \(\log_{10} x\) można też zapisać jako \(\log x\) lub \(\text{lg } x\).

Działania na logarytmach

\(\hspace{2.5cm}\log_a(x\cdot y)=\log_ax + \log_ay \)

\(\hspace{2.5cm}\log_a\large\frac{x}{y}\)\(=\log_ax – \log_ay \)

\(\hspace{2.5cm}\log_ax^r=r\log_ax \)

Ja podczas rozwiązywania zadań z tego działu zawsze zapisuję sobie te trzy wzory w odwrotnej kolejności, tj.

\(\log_ax + \log_ay =\log_a(x\cdot y)\)

\(\log_ax – \log_ay=\log_a\large\frac{x}{y}\)

\(r\log_ax=\log_ax^r\)

taka forma jest moim zdaniem dużo bardziej intuicyjna, biorąc pod uwagę konstrukcję maturalnych zadań.

Wymagane zagadnienia

Obliczanie logarytmów

Działania na logarytmach

Dodatkowo przyda Ci się opanowanie zagadnień związanych z potęgami (w tym potęgowanie pierwiastków).

Zadania maturalne

Zadanie 2/maj 2015

Dane są liczby \(a = -\large{\frac{1}{27}}\), \(b = \log_{\frac{1}{4}}{64}, c = \log_{\frac{1}{3}}{27}\). Iloczyn \(abc\) jest równy

A. \(-9\hspace{2.5cm}\)
B. \(-\large\frac{1}{3}\large\hspace{2.5cm} \)
C. \(\large\frac{1}{3}\large\hspace{2.5cm} \)
D. \(3\)

Zaczniemy od wyznaczenia liczb \(b\) i \(c\), czyli obliczenia wartości logarytmów. Aby to zrobić, skorzystamy z definicji logarytmu:

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a^b = c\)

Zajmijmy się pierwszym logarytmem. Nie znamy jego wyniku, więc oznaczymy go sobie jako \(b\), zgodnie z treścią zadania:

\(\hspace{2.5cm}\log_{\frac{1}{4}}{64} = b\)

Zgodnie z definicją, logarytm można zamienić na potęgowanie:

\(\hspace{2.5cm}(\frac{1}{4})^b = 64\)

Będę teraz starała się zapisać \(64\) jako \(\frac{1}{4}\) do jakiejś potęgi, by później móc te potęgi przyrównać. Zacznę od tego, że \(64\) to \(4^3\). Aby z czwórki zrobić \(\frac{1}{4}\), wystarczy zamienić potęgę na ujemną.

\(\hspace{2.5cm}64=4^3 =(\frac{1}{4})^{-3}\)

Wstawiam otrzymany wynik do równania zamiast \(64\):

\(\hspace{2.5cm}(\frac{1}{4})^b = (\frac{1}{4})^{-3}\)

Pewnie już widzisz, że aby to równanie było prawdziwe, \(b\) musi być równe \(-3\). Dokładnie to samo zrobię z liczbą \(c\), czyli \(\log_{\frac{1}{3}}{27}\).

\(\hspace{2.5cm}\log_{\frac{1}{3}}{27} = c\)

Najpierw zamieniam logarytm na potęgowanie:

\(\hspace{2.5cm} (\frac{1}{3})^c = 27\)

Następnie staram się przedstawić \(27\) jako potęgę \(\frac{1}{3}\):

\(\hspace{2.5cm}27=3^3 =(\frac{1}{3})^{-3}\)

Wstawiam wynik do naszego równania i otrzymuję w ten sposób \(c\).

\(\hspace{2.5cm}(\frac{1}{3})^c = (\frac{1}{3})^{-3}\)

\(\hspace{2.5cm}c=-3\)

Gdy już mamy liczby \(a, b\) i \(c\), możemy obliczyć ich iloczyn:

\(\hspace{2.5cm}abc = -\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3) = -\frac{1}{\cancel{27}^9}\cdot 3\cdot \cancel{3}^1 = -\frac{1}{\cancel{9}^3}\cdot\cancel{3}^1 = -\frac{1}{3}\)

Odpowiedź B.

Przydatne linki: Obliczanie logarytmów, Potęgi o ujemnym wykładniku

Zadanie 2/maj 2016

Liczba \(\log_{\sqrt2}( 2\sqrt2)\) jest równa

A. \(\large\frac{3}{2}\)
B. \(2\)
C. \(\large\frac{5}{2}\)
D. \(3\)

Mamy obliczyć wartość logarytmu, więc skorzystamy z jego definicji:

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a^b = c\)

My mamy \(\log_{\sqrt2} (2\sqrt2)\). Nie znamy jego wartości, więc oznaczymy go sobie jako \(x\):

\(\hspace{2.5cm}\log_{\sqrt2} (2\sqrt2)=x\)

Porównajmy to sobie teraz z lewą stroną definicji. U nas \(a=\sqrt2\), \(b=x\) i \(c=2\sqrt2\). Podstawiamy to do równania z prawej strony:

\(\hspace{2.5cm}a^b = c\)

\(\hspace{2.5cm}\sqrt2^x = 2\sqrt2\)

Teraz będę chciała zrobić tak, żeby po obu stronach mieć potęgi o takich samych podstawach. Mogę to łatwo osiągnąć, zamieniając \(2\) na \(\sqrt2^2\):

\(\hspace{2.5cm}\sqrt2^x = \sqrt2^2\cdot \sqrt2\)

Teraz wystarczy zamienić \(\sqrt2^2\cdot \sqrt2\) w jedną potęgę. Aby to zrobić, wykonamy mnożenie potęg:

\(\hspace{2.5cm}\sqrt2^2\cdot \sqrt2=\sqrt2^2\cdot \sqrt2^1=\sqrt 2^{2+1}=\sqrt2^3\)

Wstawiam to do naszego równania:

\(\hspace{2.5cm}\sqrt2^x = \sqrt2^3\)

Otrzymaliśmy równanie, które będzie prawdziwe wtedy, gdy wykładniki potęg będą takie same. Stąd

\(\hspace{2.5cm}x=3\)

A że przez \(x\) oznaczyliśmy wartość szukanego logarytmu, to otrzymujemy rozwiązanie: \(\log_{\sqrt2} (2\sqrt2)=3\). Odpowiedź D.

Przydatne linki: Obliczanie logarytmów, Działania na potęgach, Działania na pierwiastkach

Zadanie 31/maj 2016

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log\large\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\text{ cm}\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6,2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\text{ cm}\).

Zacznijmy od wypisania danych. Mamy podaną stałą \(A_0\) oraz siłę \(R\), a szukamy amplitudy \(A\). Zatem

\(\hspace{2.5cm}A_0=10^{-4}\text{ cm}\)

\(\hspace{2.5cm}R=6,2\)

\(\hspace{2.5cm}A=?\)

Możemy to podstawić do wzoru, który mamy podany w zadaniu:

\(\hspace{2.5cm}R=\log\large\frac{A}{A_0}\)

\(\hspace{2.5cm}6,2=\log\large\frac{A}{10^{-4}\text{ cm}}\)

Być może zauważyłeś, że przy logarytmie nie ma podstawy. Nie jest to błąd – jeśli przy logarytmie nie ma wpisanej żadnej podstawy, to jest ona domyślnie równa \(10\). Możemy więc to równanie zapisać tak:

\(\hspace{2.5cm}6,2=\log_{10}\large\frac{A}{10^{-4}\text{ cm}}\)

W związku z tym, że z logarytmem nigdy nie wiadomo, co zrobić, zamienimy go na potęgowanie. Skorzystamy z definicji logarytmu:

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a^b = c\)

Porównajmy nasz logarytm z tym w definicji. U nas \(a=10\), \(b=6,2\) i \(c=\large\frac{A}{10^{-4}\text{ cm}}\). Podstawiamy to do równania po prawej stronie definicji:

\(\hspace{2.5cm}a^b = c\)

\(\hspace{2.5cm}10^{6,2} = \large\frac{A}{10^{-4}\text{ cm}}\)

No dobra, co z tym teraz? Wygląda strasznie, ale zasady postępowania są dokładnie takie same, jak przy każdym równaniu. Gdy po obu stronach mamy ułamek, to możemy wykonać mnożenie na skos. A że my po lewej stronie nie mamy ułamka, to go sobie stworzymy:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{10^{6,2}}{1} = \large\frac{A}{10^{-4}\text{ cm}}\)

Teraz wykonuję mnożenie na skos:

\(\hspace{2.5cm}10^{6,2}\cdot 10^{-4}\text{ cm}=A\cdot 1\)

Po prawej stronie mamy po prostu \(A\), czyli to, co chcemy obliczyć, natomiast po lewej stronie mamy mnożenie dwóch potęg o takich samych podstawach, możemy więc po prostu dodać do siebie wykładniki:

\(\hspace{2.5cm}10^{6,2+(-4)}\text{ cm}=A\)

\(\hspace{2.5cm}10^{6,2-4}\text{ cm}=A\)

\(\hspace{2.5cm}10^{2,2}\text{ cm}=A\)

OK, pierwszą część zadania mamy za sobą – wyznaczyliśmy \(A\). Oczywiście fajnie byłoby nie zostawiać tego w postaci potęgi, tylko podać przybliżony wynik, ale bez pomocy kalkulatora z możliwością wpisania dowolnej potęgi (a na maturze takiego nie mamy) nie jesteśmy w stanie tego zrobić. Taka odpowiedź jest akceptowana przez egzaminatorów.

Teraz musimy jeszcze zdecydować, czy amplituda jest większa, czy mniejsza niż \(100 \text{ cm}\) (i oczywiście uzasadnić odpowiedź). Należy tu zauważyć, że \(100=10^2\), a \(10^2\) jest mniejsze niż \(10^{2,2}\) (czyli nasza amplituda). Dlatego możemy stwierdzić, że amplituda jest większa niż \(100\text{ cm}\).

Odpowiedź: Amplituda trzęsienia ziemi wynosi \(10^{2,2}\text{ cm}\) i jest ona większa niż \(100\text{ cm}\).

Przydatne linki: Obliczanie logarytmów, Rozwiązywanie równań liniowych

Zadanie 3/maj 2017

Liczba \(2\log_23-2\log_25\) jest równa

A. \(\log_2\large\frac{9}{25}\)
B.
\(\log_2\large\frac{3}{5}\)
C.
\(\log_2\large\frac{9}{5}\)
D.
\(\log_2\large\frac{6}{25}\)

Gdy zerkniemy na odpowiedzi, zobaczymy, czego od nas oczekują: chcą, żebyśmy skleili te dwa logarytmy w jeden (nie musimy ich obliczać). Jest na to gotowy wzór:

\(\log_ax – \log_ay = \log_a\large\frac{x}{y}\)

Na tym etapie nie możemy z niego jednak skorzystać, bo mamy te nieszczęsne dwójki przed logarytmami, co nieco komplikuje sprawę. Mamy jednak wzór, który pozwoli nam na wciągnięcie tych dwójek do środka logarytmu. Wygląda on tak:

\(r\log_ax = \log_ax^r\)

Weźmy pierwszy logarytm: \(2\log_23\). Zgodnie ze wzorem \(r=2\), \(a=2\) i \(x=3\). Podstawiamy:

\(\hspace{2.5cm}2\log_23=\log_23^2=\log_29\)

Teraz robimy to samo z drugim logarytmem:

\(\hspace{2.5cm}2\log_25=\log_25^2=\log_225\)

Teraz możemy to wstawić do naszego wyrażenia z zadania:

\(\hspace{2.5cm}2\log_23-2\log_25=\log_29-\log_225\)

OK, mamy teraz formułę logarytm minus logarytm, czyli możemy skorzystać ze wzoru, który podałam na początku:

\(\hspace{2.5cm}\log_ax – \log_ay = \log_a\large\frac{x}{y}\)

\(\hspace{2.5cm}\log_29-\log_225=\log_2\large\frac{9}{25}\)

Odpowiedź A.

Przydatne linki: Obliczanie logarytmów, Działania na logarytmach

Zadanie 1/maj 2018

Liczba \(2\log_36-\log_34\) jest równa

A. \(4\hspace{2.5cm}\)
B. \(2\hspace{2.5cm} \)
C. \(2\log_32\large\hspace{2.5cm} \)
D. \(\log_38\)

Jak widać po odpowiedziach, musimy albo policzyć, ile to jest, albo w jakiś sposób te dwa logarytmy złożyć w jeden. Ja wybiorę drugą opcję, bo mamy na to gotowy wzór:

\(\log_ax – \log_ay = \log_a\large\frac{x}{y}\)

Możemy skorzystać z tego wzoru, gdy oba logarytmy mają te same podstawy – a jak widzimy, w naszym przypadku tak jest. Gdy jednak spojrzymy na wyrażenie podane w zadaniu (\(2\log_36-\log_34\)), to zobaczymy, że nie do końca ma ono taką postać, jak we wzorze – przeszkadza nam dwójka z przodu. Dlatego najpierw zajmiemy się pierwszym członem, czyli \(2\log_36\). Aby pozbyć się tej dwójki, możemy tu skorzystać z następującego wzoru:

\(r\log_ax = \log_ax^r\)

W ten sposób zabierzemy dwójkę z przodu logarytmu i wciągniemy ją do środka. Po podstawieniu do wzoru otrzymamy:

\(\hspace{2.5cm}2\log_36 = \log_36^2\) = \(\log_336\).

Teraz do naszego wyrażenia z zadania zamiast \(2\log_36\) wstawiamy \(\log_336\), a następnie korzystamy z pierwszego wzoru na odejmowanie logarytmów:

\(\hspace{2.5cm}2\log_36 – \log_34 = \log_336 – \log_34 = \log_3\frac{36}{4} = \log_3\frac{\cancel{36}^9}{\cancel{4}^1}=\log_39\)

W tym miejscu możemy zerknąć do zadania i sprawdzić, czy jest taka odpowiedź. Jak widzimy, nie ma, zatem przekształcenie wyrażenia nie wystarczy – musimy je obliczyć. Aby to zrobić, skorzystamy z definicji logarytmu:

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a^b = c\)

My mamy \(\log_39\). Nie znamy wyniku tego logarytmu, więc oznaczę go jako \(x\):

\(\hspace{2.5cm}\log_39=x\)

Teraz zamienię logarytm na potęgowanie. Porównując lewą stronę definicki i nasz logarytm, możemy stwierdzić, że u nas \(a=3\), \(b=x\) i \(c=9\). Podstawiamy to do równania z prawej strony definicji:

\(\hspace{2.5cm}a^b = c\)

\(\hspace{2.5cm}3^x = 9\)

Teraz będę chciała zamienić \(9\) na \(3\) do jakiejś potęgi. Jak wiemy, \(3^2 = 9\). Wstawiam to do równania:

\(\hspace{2.5cm}3^x = 3^2\)

Skoro podstawy naszych potęg po obu stronach są takie same, to i wykładniki muszą być takie same, więc \(x=2\). Stąd poprawna jest odpowiedź B.

Przydatne linki: Obliczanie logarytmów, Działania na logarytmach

Zadanie 1/maj 2019

Liczba \(\log_{\sqrt2} 2\) jest równa

A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(\sqrt2\)
D. \(\large\frac{1}{2}\)

Mamy obliczyć wartość logarytmu, więc skorzystamy z jego definicji:

\(\log_ac = b \text{ wtedy i tylko wtedy, gdy } a^b = c\)

My mamy \(\log_{\sqrt2} 2\). Nie znamy jego wartości, więc oznaczymy go sobie jako \(x\):

\(\hspace{2.5cm}\log_{\sqrt2} 2=x\)

Porównajmy to sobie teraz z lewą stroną definicji. U nas \(a=\sqrt2\), \(b=x\) i \(c=2\). Podstawiamy to do równania z prawej strony:

\(\hspace{2.5cm}a^b = c\)

\(\hspace{2.5cm}\sqrt2^x = 2\)

Teraz będę chciała zrobić tak, żeby po obu stronach mieć potęgi o takich samych podstawach. Mogę to łatwo osiągnąć, zamieniając \(2\) na \(\sqrt2^2\):

\(\hspace{2.5cm}\sqrt2^x = \sqrt2^2\)

Otrzymaliśmy równanie, które będzie prawdziwe wtedy, gdy wykładniki potęg będą takie same. Stąd

\(\hspace{2.5cm}x=2\)

A że przez \(x\) oznaczyliśmy wartość szukanego logarytmu, to otrzymujemy rozwiązanie: \(\log_{\sqrt2} 2=2\). Odpowiedź A.

Przydatne linki: Obliczanie logarytmów, Działania na pierwiastkach

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!