Planimetria

Planimetria – zadania maturalne

Cześć! W tym poście znajdziesz rozwiązania zadań maturalnych z planimetrii z lat 2015-2019. Nie ma tu zadań dowodowych – będą w osobnym wpisie. Miłego rozwiązywania. Jeśli coś jest niejasne, to oczywiście pytaj 🙂

Zadanie 16/maj 2015

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20°\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

A. \(5°\hspace{2.5cm}\)
B. \(10°\hspace{2.5cm}\)
C. \(20°\hspace{2.5cm}\)
D. \(30°\)

Na początek zróbmy rysunek. Oznaczmy sobie kąt środkowy jako \(\alpha\), a kąt wpisany jako \(\beta\).

Z zadania wiemy, że kąt wpisany (czyli \(\beta\)) jest o \(20^{\circ}\) mniejszy, niż kąt środkowy (czyli \(\alpha\)). Stąd

\(\hspace{2.5cm}\alpha=\beta+20^{\circ}\)

Jednocześnie wiemy, że jeśli mamy kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego. Dlatego

\(\hspace{2.5cm}\alpha=2\beta\)

Skoro \(\alpha\) jest równe \(\beta+20^{\circ}\) i jednocześnie jest równe \(2\beta\), to możemy wyciągnąć wniosek, że

\(\hspace{2.5cm}\beta+20^{\circ}=2\beta\)

Otrzymaliśmy równanie, które rozwiązujemy. Najpierw przerzucamy \(\beta\) na lewo, a liczby na prawo:

\(\hspace{2.5cm}\beta-2\beta=-20^{\circ}\)

Teraz porządkujemy:

\(\hspace{2.5cm}-\beta=-20^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\beta=20^{\circ}\)

Mieliśmy obliczyć miarę kąta wpisanego, czyli właśnie kąta \(\beta\). Poprawna jest zatem odpowiedź C.

Zadanie 7/maj 2016

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(BDC\) jest równa

A. \(91^{\circ}\)
B. \(72,5^{\circ}\)
C. \(18^{\circ}\)
D. \(32^{\circ}\)

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, skorzystamy z własności, że kąt wpisany (nazwijmy go \(\alpha\)) jest dwa razy mniejszy, niż kąt środkowy (gdy są oparte na tym samym łuku). Jak możesz zobaczyć na rysunku, my mamy takie kąty – zaznaczyłam je na niebiesko. Natomiast na czerwono zaznaczyłam wspólny łuk, na którym są oparte.

Ponieważ kąt wpisany \(\alpha\) jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego, który ma miarę \(118^{\circ}\), możemy zapisać, że

\(\hspace{2.5cm}\alpha=118^{\circ}:2=59^{\circ}\)

Na kąt \(\alpha\) składają się dwa kąty: kąt \(27^{\circ}\) oraz kąt \(BDC\), który mamy obliczyć. Zatem

\(\hspace{2.5cm}59^{\circ}=27^{\circ}+x\)

Przenosimy liczby na jedną stronę ze zmianą znaku:

\(\hspace{2.5cm}59^{\circ}-27^{\circ}=x\)

Obliczamy:

\(\hspace{2.5cm}x=32^{\circ}\)

Stąd poprawna jest odpowiedź D.

Zadanie 16/maj 2016

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne.

Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

A. \(8\)
B. \(8,5\)
C. \(9,5\)
D. \(10\)

Zacznę od tego, że uzupełnię na rysunku brakujące kąty, korzystając z tego, że w trójkątach podobnych kąty są takie same.

Trójkąty podobne są do siebie proporcjonalne. To oznacza, że iloraz odpowiadających sobie boków będzie zawsze taki sam. Odpowiadające sobie boki to takie, które leżą naprzeciwko takiego samego kąta – czyli np. bok \(AB\) odpowiada bokowi \(PQ\), bo oba leżą naprzeciwko kąta \(62^{\circ}\). Z kolei bokowi \(BC\) odpowiada bok \(QR\), bo oba leżą naprzeciwko kąta \(70^{\circ}\). Zapisujemy teraz ilorazy tych odpowiadających sobie boków i przyrównujemy je do siebie:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{|AB|}{|PQ|}=\frac{|BC|}{|QR|}\)

Zwróć uwagę, że oba boki z trójkąta \(ABC\) są na górze, a oba boki trójkąta \(PQR\) są na dole – mogłoby też być odwrotnie, czyli oba boki trójkąta \(ABC\) na dole, a oba boki trójkąta \(PQR\) na górze, czyli \(\large\frac{|PQ|}{|AB|}=\frac{|QR|}{|BC|}\). Nie może być natomiast tak, że jeden bok trójkąta \(ABC\) będzie na górze, a drugi na dole – musimy wybrać jedną wersję i się jej trzymać.

Teraz podstawiamy długości boków, które mamy podane w zadaniu:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{x}{17}=\frac{9}{18}\)

Otrzymaliśmy równanie z niewiadomą \(x\). Zacznijmy od pomnożenia na skos:

\(\hspace{2.5cm}18x=17\cdot9\)

\(\hspace{2.5cm}18x=153\)

Dzielimy przez \(18\):

\(\hspace{2.5cm}x=8,5\)

Poprawna jest więc odpowiedź B.

Zadanie 18/maj 2016

Z odcinków o długościach: \(5\), \(2a + 1\), \(a −1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)
B. \(a=4\)
C. \(a=3\)
D. \(a=2\)

Musimy wybrać takie \(a\), żeby po pierwsze: dało się zbudować trójkąt, a po drugie: by trójkąt był równoramienny. Pierwszy warunek jest spełniony, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa, niż najdłuższy bok, natomiast drugi, gdy dwa boki są takie same. Sprawdźmy, jakie boki otrzymamy dla \(a=6\):

\(\hspace{2.5cm}5\)

\(\hspace{2.5cm}2\cdot6+1=12+1=13\)

\(\hspace{2.5cm}6-1=5\)

Spełniony jest drugi warunek (mamy dwa takie same boki), ale nie jest spełniony pierwszy: suma dwóch krótszych boków to \(10\), a więc mniej niż najdłuższy bok, czyli \(13\).

Sprawdzamy teraz \(a=4\):

\(\hspace{2.5cm}5\)

\(\hspace{2.5cm}2\cdot4+1=8+1=9\)

\(\hspace{2.5cm}4-1=3\)

Nie jest spełniony drugi warunek – nie mamy dwóch takich samych boków. Sprawdzamy \(a=3\):

\(\hspace{2.5cm}5\)

\(\hspace{2.5cm}2\cdot3+1=6+1=7\)

\(\hspace{2.5cm}3-1=2\)

Tu również nie jest spełniony drugi warunek. Pozostaje nam więc odpowiedź D, ale dla spokojnego sumienia sprawdźmy, czy rzeczywiście jest poprawna. Za \(a\) podstawiamy \(2\):

\(\hspace{2.5cm}5\)

\(\hspace{2.5cm}2\cdot2+1=4+1=5\)

\(\hspace{2.5cm}2-1=1\)

Mamy dwa takie same boki, a suma dwóch krótszych boków (\(5+1=6\)) jest większa od najdłuższego boku (\(5\)).

Zadanie 19/maj 2016

Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe

A. \(14\)
B. \(2\sqrt{33}\)
C. \(4\sqrt{33}\)
D. \(12\)

Zacznijmy od tego, co zawsze robimy, gdy mamy prostą styczną do okręgu – zaznaczamy kąt prosty między styczną a promieniem:

Trójkąt, którego pole chcemy policzyć, jest prostokątny. To bardzo ułatwia sprawę 🙂 Jego przeciwprostokątna ma długość \(7\), natomiast jedna z przyprostokątnych ma długość \(4\) (bo jest jednocześnie promieniem okręgu, który ma właśnie długość \(4\)).

Długość trzeciego boku możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

\(\hspace{2.5cm}4^2+x^2=7^2\)

\(\hspace{2.5cm}16+x^2=49\)

\(\hspace{2.5cm}x^2=49-16\)

\(\hspace{2.5cm}x^2=33\)

\(\hspace{2.5cm}x=\sqrt{33}\)

Obliczyliśmy długość trzeciego boku, możemy go zaznaczyć na rysunku.

Teraz możemy już policzyć pole, o które nas pytają w zadaniu. Pole trójkąta dane jest wzorem

\(P=\large\frac{a\cdot h}{2}\)

W trójkącie prostokątnym \(a\) oraz \(h\) to przyprostokątne. Zatem:

\(\hspace{2.5cm}P=\large\frac{4\cdot\sqrt{33}}{2}\)

Możemy skrócić \(4\) i \(2\):

\(\hspace{2.5cm}P=\large\frac{\cancel{4}^2\cdot\sqrt{33}}{\cancel{2}^1}=\frac{2\cdot\sqrt{33}}{1}\)\(=2\sqrt{33}\)

Poprawna jest więc odpowiedź B.

Zadanie 32/maj 2016

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\) . Oblicz kąty tego trójkąta.

Powiedzmy, że kąty naszego trójkąta to \(\alpha\), \(\beta\) i \(\gamma\). Teraz przebrnijmy krok po kroku przez polecenie. „Jeden z kątów trójkąta” – powiedzmy, że będzie to \(\alpha\), „jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów” – powiedzmy, że mniejszy z dwóch pozostałych kątów to \(\beta\). Stąd wiemy, że \(\alpha\) jest trzy razy większy od \(\beta\). Przy użyciu symboli matematycznych zapisalibyśmy to tak:

\(\hspace{2.5cm}\alpha = 3\beta\)

Czytajmy dalej: „dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\)” – te dwa pozostałe kąty to \(\beta\) i \(\gamma\). Ustaliliśmy, że z tych dwóch kątów kąt \(\beta\) jest mniejszy – możemy więc zapisać, że

\(\hspace{2.5cm}\gamma = \beta + 50^{\circ}\)

Są to kąty trójkąta, więc wiemy, że

\(\hspace{2.5cm}\alpha +\beta +\gamma = 180^{\circ}\)

Ustaliliśmy, że \(\alpha = 3\beta\) oraz że \(\gamma = \beta + 50^{\circ}\). Możemy to wstawić do ostatniego równania:

\(\hspace{2.5cm}3\beta +\beta +\beta + 50^{\circ} = 180^{\circ}\)

Otrzymaliśmy równanie na betę, które rozwiążemy:

\(\hspace{2.5cm}5\beta + 50^{\circ} = 180^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}5\beta = 180^{\circ}- 50^{\circ} \)

\(\hspace{2.5cm}5\beta = 130^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\beta = 26^{\circ}\)

Teraz obliczymy pozostałe kąty:

\(\hspace{2.5cm}\alpha = 3\beta=3\cdot 26^{\circ}=78^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\gamma = \beta + 50^{\circ}=26^{\circ} + 50^{\circ}=76^{\circ}\)

Odpowiedź: Kąty tego trójkąta to \(26^{\circ}\), \(78^{\circ}\) i \(76^{\circ}\).

Zadanie 15/maj 2017

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leży punkt \(C\) (zobacz rysunek). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu.

Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(\alpha\) ma miarę

A. \(116^{\circ}\)
B. \(114^{\circ}\)
C. \(112^{\circ}\)
D. \(110^{\circ}\)

Przyjrzyjmy się rysunkowi. Zawsze, gdy mamy w okręgu trójkąt, którego jeden z wierzchołków jest w środku tego okręgu, a pozostałe dwa są na okręgu, to ten trójkąt jest równoramienny. Wynika to z tego, że ma on dwa boki, które są promieniami – a więc są tej samej długości.

Jak widzisz, oba trójkąty na rysunku są równoramienne. Zajmijmy się tym, który zaznaczyłam na niebiesko. Czemu akurat tym? Bo o nim więcej wiemy 😉

Skoro jest równoramienny, to znaczy, że ma przy ramionach dwa takie same kąty. Możemy więc na rysunku zaznaczyć drugi kąt \(56^{\circ}\). Trzeci kąt oznaczmy sobie jako \(\beta\).

Wiemy, że suma kątów w trójkącie wynosi \(180^{\circ}\). Możemy więc zapisać, że

\(\hspace{2.5cm}56^{\circ}+56^{\circ}+\beta=180^{\circ}\)

Z tego równania możemy wyznaczyć kąt \(\beta\):

\(\hspace{2.5cm}112^{\circ}+\beta=180^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\beta=180^{\circ}-112^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\beta=68^{\circ}\)

Teraz możemy wyznaczyć kąt \(\alpha\) – wiemy bowiem, że \(\alpha+\beta=180^{\circ}\):

\(\hspace{2.5cm}\alpha+68^{\circ}=180^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\alpha=180^{\circ}-68^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\alpha=112^{\circ}\)

Poprawna jest więc odpowiedź C.

Zadanie 16/maj 2017

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD| =10\), \(|BC| =12\) i \(|AC| = 24\) (zobacz rysunek).

Długość odcinka \(DE\) jest równa

A. \(22\)
B. \(20\)
C. \(12\)
D. \(11\)

Na początku oznaczmy odcinek \(DE\), którego długość chcemy obliczyć, jako \(x\).

Teraz zastanówmy się, co wiemy. Na pewno wiemy, że mamy dwa trójkąty – \(ABC\) i \(EBD\). Wiemy, że odcinek \(CA\) jest równoległy do odcinka \(DE\) – a to oznacza, że odpowiadające sobie kąty przy tych odcinkach są takie same:

Kąt \(CBA\) (oznaczmy go jako \(\gamma\)) jest wspólny dla obu trójkątów.

Otrzymaliśmy więc dwa trójkąty, które mają takie same kąty – są więc do siebie podobne, bo mamy spełnioną cechę kąt-kąt-kąt. Aby to łatwiej zobaczyć, narysujmy te dwa trójkąty osobno.

Skoro trójkąty są do siebie podobne, to ich boki są do siebie proporcjonalne, a więc ilorazy długości odpowiadających sobie boków są takie same. Odpowiadające sobie boki to takie, które w obu trójkątach leżą naprzeciwko takiego samego kąta – u nas bokowi \(CA\) odpowiada bok \(DE\), a bokowi \(CB\) odpowiada bok \(DB\). Możemy więc zapisać, że

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{|CA|}{|DE|}=\frac{|CB|}{|DB|}\)

Podstawmy długości boków:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{24}{x}=\frac{12}{10}\)

Możemy teraz wykonać mnożenie na skos:

\(\hspace{2.5cm}24\cdot 10=12x\)

Rozwiązujemy równanie:

\(\hspace{2.5cm}240=12x\)

Dzielimy obustronnie przez to, co stoi przy \(x\)-ie, czyli przez \(12\):

\(\hspace{2.5cm}240:12=x\)

\(\hspace{2.5cm}x=20\)

Poprawna odpowiedź to B.

Zadanie 17/maj 2017

Obwód trójkąta \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równy

A. \(\large(\)\(3+\large\frac{\sqrt3}{2})\)\(a\)
B. \(\large(\)\(2+\large\frac{\sqrt2}{2})\)\(a\)
C. \((3+\sqrt3)a\)
D. \((2+\sqrt2)a\)

Przedstawiony trójkąt to klasyczny trójkąt \(30-60-90\). Nie ma go w karcie wzorów, dlatego warto go opanować – bardzo się przydaje.

Jeśli mamy trójkąt prostokątny o kątach \(30^\circ\), \(60^\circ\) oraz \(90^\circ\), to jego boki mają odpowiednio długości \(a\), \(a\sqrt3\) i \(2a\):

Obliczmy jego obwód:

\(\hspace{2.5cm}Ob=a\sqrt3+a+2a\)

Uprośćmy to wyrażenie. Ten kawałek z pierwiastkiem musi zostać tak, jak jest, możemy natomiast dodać \(a\) i \(2a\) – otrzymamy \(3a\):

\(\hspace{2.5cm}Ob=a\sqrt3+3a\)

Jak widzisz, nie ma takiej odpowiedzi – w każdej z nich \(a\) jest wyłączone przed nawias (czy raczej za nawias), co też zrobimy:

\(\hspace{2.5cm}Ob=a(\sqrt3+3)\)

Otrzymaliśmy odpowiedź C.

Zadanie 30/maj 2017

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość \(26\text{ cm}\), a jedna z przyprostokątnych jest o \(14\text{ cm}\) dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Zróbmy najpierw rysunek. Wiemy, że dany jest trójkąt prostokątny:

Wiemy, że przeciwprostokątna ma długość \(26\text{ cm}\):

Wiemy też, że jedna z przyprostokątnych jest o \(14\text{ cm}\) dłuższa od drugiej. Możemy więc krótszą przyprostokątną oznaczyć jako \(x\) – wtedy dłuższa będzie równa \(x+14\):

Szukamy obwodu, będziemy więc starali się wyznaczyć długości boków. Tak więc de facto musimy obliczyć \(x\). Mamy trójkąt prostokątny, więc aż się prosi, by użyć twierdzenia Pitagorasa:

\(\hspace{2.5cm}x^2+ (x+14)^2=26^2\)

Podnosimy wyrażenia do kwadratu (pamiętaj o wzorach skróconego mnożenia!):

\(\hspace{2.5cm}x^2+ x^2+2\cdot x\cdot 14+14^2=26^2\)

\(\hspace{2.5cm}x^2+ x^2+28x+196=676\)

Dodajemy wyrazy podobne:

\(\hspace{2.5cm}2x^2+28x+196=676\)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Przerzucamy więc wszystko na jedną stronę, by po drugiej otrzymać zero:

\(\hspace{2.5cm}2x^2+28x+196-676=0\)

\(\hspace{2.5cm}2x^2+28x-480=0\)

Teraz, jak to zawsze przy równaniach kwadratowych, obliczymy deltę.

\(\Delta=b^2-4ac\)

U nas \(a=2\), \(b=28\) i \(c=-480\). Podstawiamy do wzoru:

\(\hspace{2.5cm}\Delta=28^2-4\cdot 2\cdot (-480)\)

Obliczamy (zwróć uwagę, że w drugiej części wyrażenia zrobi nam się plus, bo mamy dwa minusy):

\(\hspace{2.5cm}\Delta=784+3840\)

\(\hspace{2.5cm}\Delta=4624\)

Delta jest dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania. Dane są one następującymi wzorami:

\(x_1=\large\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2=\large\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Wyznaczamy pierwsze rozwiązanie:

\(\hspace{2.5cm}x_1=\large\frac{-28-\sqrt{4624}}{2\cdot 2}\)

\(\hspace{2.5cm}x_1=\large\frac{-28-68}{4}\)

\(\hspace{2.5cm}x_1=\large\frac{-96}{4}\)

\(\hspace{2.5cm}x_1=-24\)

Teraz wyznaczamy drugie rozwiązanie:

\(\hspace{2.5cm}x_2=\large\frac{-28+\sqrt{4624}}{2\cdot 2}\)

\(\hspace{2.5cm}x_2=\large\frac{-28+68}{4}\)

\(\hspace{2.5cm}x_2=\large\frac{40}{4}\)

\(\hspace{2.5cm}x_2=10\)

Otrzymaliśmy dwie możliwe wartości \(x\): \(-24\) i \(10\). Wiedząc jednak, że \(x\) jest długością boku, musimy odrzucić pierwsze rozwiązanie, bo długość boku nie może być ujemna (i takie zdanie należy zapisać – jeśli odrzucamy jedno z rozwiązań, musimy uzasadnić, dlaczego tak robimy). Stąd \(x=10\). Drugi bok ma więc długość \(10+14\), czyli \(24\).

Teraz możemy obliczyć obwód:

\(\hspace{2.5cm}Ob=10\text{ cm} +24\text{ cm} +26\text{ cm} = 60\text{ cm}\)

Odpowiedź: Obwód trójkąta jest równy \(60\text{ cm}\).

Zadanie 15/maj 2018

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt5\), \(3\sqrt5\), \(4\sqrt5\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

A. \(10\), \(15\), \(20\)
B. \(20\), \(45\), \(80\)
C. \(\sqrt2\), \(\sqrt3\), \(\sqrt4\)
D. \(\sqrt5\), \(2\sqrt5\), \(3\sqrt5\)

Trójkąty są do siebie podobne wtedy, gdy spełniają którąś z cech podobieństwa: kąt-kąt-kąt (trzy kąty są takie same), bok-bok-bok (trzy boki są do siebie proporcjonalne) lub bok-kąt-bok (dwa boki są do siebie proporcjonalne, a kąt między tymi bokami jest taki sam w obu trójkątach). My mamy podane boki, więc będziemy sprawdzać cechę bok-bok-bok. Zaczniemy od odpowiedzi A. Narysujmy sobie pomocniczo te dwa trójkąty (ten z zadania oraz ten z odpowiedzi A).

Gdy spełniona jest cecha bok-bok-bok, to ilorazy odpowiadających sobie boków są takie same. Jak poznać, które boki są sobie odpowiadające? Najkrótszy bok z pierwszego trójkąta odpowiada najkrótszemu bokowi z drugiego trójkąta, średni odpowiada średniemu, a najdłuższy najdłuższemu. Na rysunku zaznaczyłam odpowiadające sobie boki tym samym kolorem.

Teraz zapiszmy ilorazy odpowiadających sobie boków:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{3\sqrt{5}}{15},\frac{2\sqrt{5}}{10},\frac{4\sqrt{5}}{20}\)

Aby się przekonać, czy są sobie równe, sprowadzimy je do najprostszej postaci.

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\cancel{3}^1\sqrt{5}}{\cancel{15}^5}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\cancel{2}^1\sqrt{5}}{\cancel{10}^5}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\cancel{4}^1\sqrt{5}}{\cancel{20}^5}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Jak widzisz, po poskracaniu okazało się, że wszystkie trzy ilorazy są takie same, a więc te dwa trójkąty są podobne. Poprawna jest więc odpowiedź A.

Zadanie 16/maj 2018

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=111^{\circ}\).

Wynika stąd, że

A. \(\alpha=74^{\circ}\)
B. \(\alpha=76^{\circ}\)
C. \(\alpha=70^{\circ}\)
D. \(\alpha=72^{\circ}\)

Wiemy, że

\(\hspace{2.5cm}\alpha+\beta = 111^{\circ}\)

Wiemy jednocześnie, że kąt środkowy, czyli \(\alpha\), jest dwa razy większy, niż kąt wpisany, czyli \(\beta\):

\(\hspace{2.5cm}\alpha=2\beta\)

Możemy więc do pierwszego równania w miejsce \(\alpha\) wstawić \(2\beta\):

\(\hspace{2.5cm}2\beta+\beta = 111^{\circ}\)

Rozwiązujemy równanie:

\(\hspace{2.5cm}3\beta = 111^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\beta = 111^{\circ}:3\)

\(\hspace{2.5cm}\beta = 37^{\circ}\)

Skoro \(\alpha=2\beta\), to

\(\hspace{2.5cm}\alpha=2\cdot37^{\circ}=74^{\circ}\)

Odpowiedź A.

Zadanie 17/maj 2018

Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(|KL|= a\), \(|MN| =b\), \(a>b\). Kąt \(KLM\) ma miarę \(60°\).

Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa

A. \(a-b\)
B. \(2(a-b)\)
C. \(a+\large\frac{1}{2}\)\(b\)
D. \(\large\frac{a+b}{2}\)

Na początku przenieśmy na rysunek to, co wiemy z zadania. Oprócz tego, że podstawy mają długości \(a\) oraz \(b\) wiemy też, że kąt \(KLM\) ma miarę \(60°\).

Zarówno w trapezach, jak i równoległobokach, przy wyznaczaniu różnych długości bardzo często przydaje się szukanie trójkątów prostokątnych. Aby to zrobić, wystarczy poprowadzić w odpowiednim miejsu wysokość.

Mamy trójkąt. Jego dwa kąty to \(90^{\circ}\) oraz \(60^{\circ}\), więc trzeci kąt musi mieć \(30^{\circ}\), by kąty sumowały się do \(180^{\circ}\).

Otrzymaliśmy trójkąt \(30-60-90\), więc wystarczy nam jeden bok, by otrzymać pozostałe. Zastanówmy się, skąd możemy go wziąć.

Wiemy, że górna podstawa ma długość \(b\). Tę samą długość możemy zaznaczyć na dolnej podstawie.

Skoro cała dolna podstawa ma długość \(a\), a jej zaznaczony fragment ma długość \(b\), to jej pozostała część ma długość \(a-b\).

Teraz jesteśmy już w domu – mamy jeden z boków trójkąta, a pozostałe dwa możemy wyznaczyć, korzystając z własności trójkąta \(30-60-90\). W takim trójkącie, jeśli najkrótszy bok (czyli ten naprzeciwko kąta \(30^{\circ}\)) ma długość \(x\), to najdłuższy bok (ten naprzeciwko kąta prostego) ma długość \(2x\), a trzeci bok ma długość \(x\sqrt{3}\).

U nas najkrótszy bok ma długość \(a-b\), więc najdłuższy będzie równy \(2(a-b)\), a trzeci \((a-b)\sqrt3\).

Nas pytają o bok \(LM\) – ma on długość \(2(a-b)\) – a więc odpowiedź B.

Zadanie 14/maj 2019

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

Zatem

A. \(\alpha=30^{\circ}\)
B. \(\alpha<30^{\circ}\)
C. \(\alpha>45^{\circ}\)
D. \(\alpha=45^{\circ}\)

Skoro autor zadania wspomniał w nim o odcinku \(CD\), to najpewniej będzie on nam do czegoś potrzebny. Zaznaczmy go.

Powstały nam dwa kąty wpisane, które są oparte na tym samym łuku. Takie kąty mają taką samą rozwartość, jeśli więc znajdziemy kąt \(DCB\), to znajdziemy też kąt \(\alpha\).

Zastanówmy się, co wiemy o kątach. Trójkąt jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają po \(60^{\circ}\).

Wiemy, że odcinek \(CD\) jest średnicą okręgu, czyli przechodzi przez jego środek. To oznacza, że dzieli on nasz trójkąt dokładnie na pół, a to znaczy, że kąt \(\alpha\) jest równy połowie z \(60^{\circ}\), czyli \(30^{\circ}\). Odpowiedź A.

Zadanie 15/maj 2019

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Wtedy

A. \(|OK| = 6 \)
B. \(|OK| = 8 \)
C. \(|OK| =10 \)
D. \(|OK| =12\)

Jak zawsze zacznijmy od zaznaczenia na rysunku tego, co wiemy z zadania.

Oprócz tego, że znamy długości trzech odcinków, wiemy też, że prosta \(AB\) jest styczna do okręgów – to znaczy, że między promieniem a tą styczną jest kąt prosty . Zaznaczamy na rysunku.

Tyle wiemy z zadania. Teraz zastanówmy się, co wiemy z różnych własności, jakie znamy z geometrii. Moim zdaniem pierwsze, co można zauważyć to to, że kąty \(AKO\) oraz \(PKB\) są takie same (są to kąty wierzchołkowe).

Skoro te trójkąty mają po dwa takie same kąty (zaznaczone przed chwilą kąty wierzchołkowe oraz kąty proste), to trzeci kąt też muszą mieć taki sam. Stąd wniosek, że trójkąty te są podobne (spełniają cechę kąt-kąt-kąt).

Skoro trójkąty są do siebie podobne, to znaczy, że ilorazy odpowiadających sobie boków są równe. Bokowi \(AO\) odpowiada bok \(PB\) (oba są naprzeciwko kątów wierzchołkowych), zaś bokowi \(OK\), który mamy obliczyć, odpowiada bok \(KP\) (oba są naprzeciwko kąta prostego). Zatem

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{|AO|}{|PB|}=\frac{|OK|}{|KP|}\)

Boki \(AO\) i \(PB\) znamy, \(OK\) chcemy obliczyć, więc możemy go oznaczyć jako \(x\), a co z odcinkiem \(KP\)?

Wiemy, że \(|OK|+|KP|=16\), zatem \(|KP|=16-|OK|\), a skoro odcinek \(OK\) oznaczyliśmy jako \(x\), to \(|KP|=16-x\).

No to podstawiamy:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{5}{3}=\frac{x}{16-x}\)

Wykonujemy mnożenie na skos:

\(\hspace{2.5cm}5(16-x)=3x\)

Pozbywamy się nawiasów:

\(\hspace{2.5cm}80-5x=3x\)

Przerzucamy \(x\)-y na jedną stronę, a liczby na drugą:

\(\hspace{2.5cm}-5x-3x=-80\)

\(\hspace{2.5cm}-8x=-80\)

Dzielimy obustronnie przez to, co stoi przy \(x\)-ie, czyli przez \(-8\):

\(\hspace{2.5cm}x=\large\frac{-80}{-8}\)

Dwa minusy dają nam plus, a \(80:8=10\). Stąd

\(\hspace{2.5cm}x=10\)

Odpowiedź C.

Zadanie 16/maj 2019

Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150°\). Pole tego rombu jest równe

A. \(8\)
B. \(12\)
C. \(8 \sqrt3\)
D. \(16\)

Pole rombu możemy obliczyć na dwa sposoby. Albo z przekątnych, albo z boku i wysokości. Ponieważ mamy podany bok, możemy sie spodziewać, że użyjemy tego drugiego sposobu, ale zanim o tym zdecydujemy, zróbmy rysunek.

Skoro został nam podany kąt, to zapewne będzie nam do czegoś potrzebny. Kąt \(150^{\circ}\) nie mówi nam jednak niczego szczególnego. Obliczmy zatem, jaka jest rozwartość kąta ostrego tego rombu. Wiemy, że kąt ostry i rozwarty w rombie (podobnie jak w równoległoboku) mają razem \(180^{\circ}\). Kąt ostry musi więc mieć \(30^{\circ}\).

Jak pisałam wcześniej (zad. 17/maj 2018), gdy w trapezie lub równoległoboku (a romb jest równoległobokiem) chcemy obliczyć jakąś długość, to często pomocne jest znalezienie trójkąta prostokątnego. A że my dodatkowo mamy kąt \(30^{\circ}\), to tym bardziej będziemy do tego dążyć, bo wtedy otrzymamy trójkąt \(30-60-90\). Podobnie jak we wspomnianym zadaniu, zrobimy to poprzez poprowadzenie wysokości.

Mamy nasz trójkąt \(30-60-90\), więc możemy teraz obliczyć jego boki. Dla przypomnienia, boki w takim trójkącie mają następujące długości:

My znamy bok naprzeciwko kąta prostego – ma on długość \(4\). Jak możesz zobaczyć, jest on dwa razy dłuższy od boku naprzeciwko kąta \(30^{\circ}\), a więc ten bok będzie u nas wynosił \(2\). W ten sposób znaleźliśmy wysokość, więc trzeci bok możemy zostawić.

Ok, to liczymy pole. Jest ono dane wzorem

\(P=a\cdot h\)

Podstawa ma długość \(4\), a wysokość \(2\).

\(\hspace{2.5cm}P=4\cdot 2=8\)

Odpowiedź A.

Zadanie 31/maj 2019

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^{\circ}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

Prawie zawsze, gdy widzimy gdzieś kąt \(30^\circ\) lub \(60^{\circ}\), możemy się spodziewać trójkąta \(30-60-90\). Tak jest i w tym przypadku.

W takim trójkącie, gdy mamy jeden bok, to możemy łatwo wyznaczyć dwa pozostałe.

W naszym trójkącie mamy dany bok naprzeciwko kąta prostego – jest on równy \(4\). Jak widzisz, bok naprzeciwko kąta prostego (\(2x\)) jest dwa razy dłuższy od boku naprzeciwko kąta \(30^{\circ}\) (\(x\)). To znaczy, że w naszym trójkącie bok naprzeciwko kąta \(30^{\circ}\) jest równy \(2\). Trzeci bok (\(x\sqrt3\)) będzie więc równy \(2\sqrt3\).

Ok, skoro już wyłuskaliśmy to co mogliśmy z danych z zadania, to przejdźmy do tego, co mamy obliczyć, czyli do odcinka \(BD\). Oznaczmy go sobie jako \(x\).

Jeśli się przyjrzysz, to zauważysz, że szukany przez nas odcinek jest bokiem trójkąta prostokątnego \(ABD\). Pozostałe dwa boki tego trójkąta znamy, więc możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

\(\hspace{2.5cm}8^2+2^2=x^2\)

\(\hspace{2.5cm}64+4=x^2\)

\(\hspace{2.5cm}68=x^2\)

\(\hspace{2.5cm}\sqrt{68}=x\)

Wynik możemy zostawić w takiej formie, natomiast jeśli chcemy, żeby było ładnie, możemy jeszcze wyłączyć czynnik przed pierwiastek – na maturze nie jest to jednak konieczne (piszę o tej opcji, bo być może wymaga jej Twój nauczyciel).

\(\hspace{2.5cm}\sqrt{68}=2\sqrt{17}\)

Odpowiedź: Odcinek \(BD\) ma długość \(\sqrt{68}\).

lub

Odpowiedź: Odcinek \(BD\) ma długość \(2\sqrt{17}\).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!