Matura Pierwiastki Potęgi

Przygotowanie do matury – potęgi i pierwiastki

W karcie wzorów ten dział znajduje się w rozdziale nr 2. Wszystkie wzory i informacje, które tam znajdziemy, obowiązują Cię na maturze podstawowej.

Wzory i informacje, które są w karcie

Definicja pierwiastka

\(\hspace{2.5cm}\sqrt[n]{a}=b\), gdy \(b^n=a\)

Informacja, że

\(\hspace{2.5cm}\sqrt{a^2}=|a|\)

Informacja, że nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia z ujemnej liczby

Potęga zerowa

\(\hspace{2.5cm}a^0=1\)

Potęga o ujemnym wykładniku

\(\hspace{2.5cm}a^{-n}=\large\frac{1}{a^n}\)

Potęga o ułamkowym wykładniku

\(\hspace{2.5cm}a^{\large\frac{m}{n}}\)\(=\sqrt[n]{a^m}\)

\(\hspace{2.5cm}a^{-\large\frac{m}{n}}=\large\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)

Działania na potęgach o takiej samej podstawie

\(\hspace{2.5cm}a^r\cdot a^s = a^{r+s}\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{a^r}{a^s}\)\(= a^{r-s}\)

\(\hspace{2.5cm}(a^r)^s = a^{r\cdot s}\)

Działania na potęgach o takim samym wykładniku

\(\hspace{2.5cm}(a\cdot b)^r=a^r\cdot b^r\)

\(\hspace{2.5cm}\large(\frac{a}{b})^r=\frac{a^r}{b^r}\)

Wzory i informacje, których nie ma w karcie

Informacja, że

\(\hspace{2.5cm}\sqrt[n]a^n=a\)

Działania na pierwiastkach tego samego stopnia:

\(\hspace{2.5cm}\sqrt[n]a\cdot\sqrt[n]b=\sqrt[n]{a\cdot b}\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

Wymagane zagadnienia

Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach.

\(\hspace{2.5cm}\)Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

\(\hspace{2.5cm}\)Działania na pierwiastkach

\(\hspace{2.5cm}\)Usuwanie niewymierności z mianownika

Uczeń stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.

\(\hspace{2.5cm}\)Działania na potęgach

Uczeń oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych.

\(\hspace{2.5cm}\)Potęgi o ujemnym wykładniku

\(\hspace{2.5cm}\)Potęgi o ułamkowym wykładniku (póki co nie ma o tym posta, bo do tej pory to zagadnienie pojawiało się jedynie na maturach czerwcowych i sierpniowych – ale na pewno powstanie 🙂 )

Uczeń wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią informatyką).

\(\hspace{2.5cm}\)Chodzi po prostu o wykorzystywanie potęg w zadaniach z treścią (jeśli przeraża Cię wzmianka o „innych dziedzinach wiedzy”, zerknij na to zadanie, da Ci ono obraz tego, jak takie zadania mogą wyglądać).

Zadania maturalne

Zadanie 1/maj 2016

Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\large\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy

A. \(a^{-3,9}\)
B. \(a^{-2}\)
C. \(a^{-1,3}\)
D. \(a^{1,3}\)

Aby rozwiązać to zadanie wystarczy skorzystać z jednego wzoru:

\(\large\frac{a^{r}}{a^{s}} \) \(= a^{r-s}\)

U nas \(r=-2,6\), a \(s=1,3\).

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\)\(=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}\)

Odpowiedź A.

Przydatne linki: Działania na potęgach

Zadanie 1/maj 2017

Liczba \(5^{8}\cdot16^{-2}\) jest równa

A. \(\large(\frac{5}{2}\large)^8\hspace{2.5cm}\)
B. \(\large\frac{5}{2}\large\hspace{2.5cm} \)
C. \(10^{8}\hspace{2.5cm} \)
D. \(10\)

Na początku zobaczmy, jakie mamy odpowiedzi. Po pierwsze widzimy, że w odpowiedziach nie ma nigdzie szesnastki – są za to dwójki. W pierwszych dwóch odpowiedziach w jawnej formie, natomiast w pozostałych dwóch – ukryte w dziesiątkach (\(5\cdot2\)). Stąd wiemy, że z szesnastki musimy zrobić dwójkę.

\(\hspace{2.5cm}16 = 4\cdot4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^4\)

W wyrażeniu podanym w zadaniu liczba \(16\) jest podniesiona do potęgi \(-2\). Stąd

\(\hspace{2.5cm}16^{-2} = (2^4)^{-2}\)

Skorzystam teraz ze wzoru na potęgowanie potęgi:

\((a^r)^s = a^{r\cdot s}\)

\(\hspace{2.5cm}(2^4)^{-2} = 2^{4\cdot(-2)}=2^{-8}\)

Wracając do początkowego wyrażenia, otrzymujemy

\(\hspace{2.5cm}5^{8}\cdot16^{-2}=5^{8}\cdot 2^{-8}\)

Mamy zarówno różne podstawy, jak i różne potęgi, więc na tym etapie nie możemy tego pomnożyć. Widać jednak, że do pełni szczęścia brakuje nam jedynie pozbycia się minusa. Aby to zrobić, wystarczy liczbę „odwrócić do góry nogami”:

\(a^{-n}=\large\frac{1}{a^n}\large\)

\(\hspace{2.5cm}2^{-8}=\large\frac{1}{2^{8}}\large\)

Podstawiamy to do naszego wyrażenia:

\(\hspace{2.5cm}5^{8}\cdot 2^{-8} =5^{8} \cdot\large \frac{1}{2^{8}}\large\)

Myślę, że na tym etapie domyślasz się już, która odpowiedź jest prawidłowa, ale dla porządku doprowadźmy rozwiązanie do końca 🙂

\(\large(\frac{a}{b})^r=\frac{a^r}{b^r}\large\)

\(\hspace{2.5cm}5^{8} \cdot\large \frac{1}{2^{8}}=\frac{5^8}{2^8}=(\frac{5}{2})^8\large\)

Odpowiedź A.

Przydatne linki: Działania na potęgach, Potęgi o ujemnym wykładniku

Zadanie 2/maj 2017

Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

A. \(\sqrt[3]{52}\hspace{2.5cm}\)
B. \(3\hspace{2.5cm} \)
C. \(2\sqrt[3]{2}\hspace{2.5cm} \)
D. \(2\)

Zacznę od tego, że absolutnie nie wolno Ci zrobić tak:

\(\hspace{2.5cm}\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{54-2} = \sqrt[3]{52}\)

O ile różne pierwiastki (jeśli są tego samego stopnia) można mnożyć i dzielić, o tyle dodawać i odejmować już nie. Możemy dodawać i odejmować tylko takie pierwiastki, które są takie same – dlatego będziemy do tego dążyć w tym przypadku. Jeśli pierwiastkek, który mamy, nie do końca nam odpowiada, możemy spróbować wyłączyć coś przed pierwiastek. Z dwójki nic nie wyłączymy, ale z \(54\) jak najbardziej. Rozkładam zatem liczbę \(54\) na czynniki pierwsze.

Następnie łączę liczby w trójki (bo mamy pierwiastek trzeciego stopnia) i to, co się połączyło, wyciągam przed pierwiastek, a to, co się nie połączyło zostawiam pod pierwiastkiem. Stąd \(\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}\). Wstawiam to do wyrażenia z treści zadania:

\(\hspace{2.5cm}\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} – \sqrt[3]{2}\)

Teraz, gdy mamy dwa takie same pierwiastki, możemy je już odjąć:

\(\hspace{2.5cm}3\sqrt[3]{2} – \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\)

Stąd poprawna jest odpowiedź C.

PS: Pamiętaj proszę (bo to bardzo częsty błąd): \(3\sqrt[3]{2} – \sqrt[3]{2}\) nie jest równe \(3\)!

Przydatne linki: Wyłączanie czynnika przed pierwiastek, Działania na pierwiastkach

Zadanie 2/maj 2018

Liczba \(\large\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}\large\) jest równa:

A. \(\large\frac{\sqrt{3}}{2}\large\hspace{2.5cm}\)
B. \(\large\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\large\hspace{2.5cm} \)
C. \(\large\frac{3}{2}\large\hspace{2.5cm} \)
D. \(\large\frac{9}{4}\large\)

Zacznę od rozbicia tego wyrażenia na pojedyncze pierwiastki (możemy tak zrobić, gdy pod pierwiastkiem mamy mnożenie lub dzielenie, jak w naszym przykładzie – bo kreska ułamkowa to inaczej dzielenie). Będzie ono wtedy wyglądało tak:

\(\hspace{2.5cm}\large\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{56}}\large\)

Teraz zobaczmy, czy z któregoś pierwiastka możemy coś wyłączyć. Dlaczego? Ponieważ bardzo często jest tak, że gdy mamy różne pierwiastki, to wystarczy wyłączyć czynnik przed pierwiastek i już przestają być różne 😉

W pierwszym ułamku mamy \(7\) i \(3\) – są to liczby pierwsze, więc nie wyciągniemy z nich pierwiastka (możemy oczywiście to zrobić, ale liczba, którą otrzymamy, będzie miała nieskończenie dużo cyfr po przecinku, a my takich nie lubimy). W drugim natomiast mamy liczby \(81\) i \(56\) – tu jak najbardziej możemy spróbować. Rozłożę je teraz na czynniki pierwsze:

Następnie, ponieważ mamy pierwiastki trzeciego stopnia, będę łączyć liczby w trójki (tam, gdzie to możliwe).

To, co nam się połączyło, możemy wyciągnąć przed pierwiastek, natomiast to co się nie połączyło, zostaje pod pierwiastkiem. Stąd \(\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3}\), a \(\sqrt[3]{56}=2\sqrt[3]{7}\). Wstawiam to do naszego wyrażenia:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{56}}=\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[3]{7}}\large\)

Jak widzimy, złożyło się na tyle szczęśliwie, że zarówno \(\sqrt[3]{7}\), jak i \(\sqrt[3]{3}\) nam się skrócą:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\cancel{\sqrt[3]{7}}^1}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{3\sqrt[3]{3}}{2\cancel{\sqrt[3]{7}}^1}\large\) = \(\large\frac{1}{\cancel{\sqrt[3]{3}}^1}\cdot\frac{3\cancel{\sqrt[3]{3}}^1}{2}\large\) = \(\large\frac{1}{1}\cdot\frac{3}{2}\large\) = \(\large\frac{3}{2}\large\)

A zatem poprawna jest odpowiedź C.

Przydatne linki: Wyłączanie czynnika przed pierwiastek, Działania na pierwiastkach

Zadanie 3/maj 2018

Dane są liczby \(a = 3,6\cdot10^{-12}\) oraz \(b = 2,4 \cdot 10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\large\frac{a}{b}\large\) jest równy

A. \(8,64\cdot10^{-32}\hspace{2.5cm}\)
B. \(1,5\cdot10^{-8}\hspace{2.5cm} \)
C. \(1,5\cdot10^{8}\hspace{2.5cm} \)
D. \(8,64\cdot10^{32}\)

Na początek zapiszmy sobie ten iloraz liczb \(a\) i \(b\), podstawiając pod nie liczby podane w zadaniu:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{a}{b} = \frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}}\large\)

Rozdzielę to sobie na dwa osobne ułamki (zasada jest podobna, jak przy pierwiastkach – możemy tak zrobić, gdy mamy mnożenie lub dzielenie):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}} = \frac{3,6}{2,4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}\large\)

Pierwszy ułamek obliczę korzystając po prostu z kalkulatora: \(3,6 : 2,4 = 1,5\). Aby obliczyć drugi ułamek, skorzystam z tego wzoru:

\(\large\frac{a^{r}}{a^{s}} \) \(= a^{r-s}\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{10^{-12}}{10^{-20}}\) \(= 10^{-12-(-20)} = 10^{-12+20} = 10^8\)

Zwróć koniecznie uwagę, by przy pozbywaniu się ułamka nie zgubić jednego minusa – jest to częstym błędem, gdy mamy ujemne potęgi. Korzystając z naszego wzoru \(r = -12\), a \(s = -20\), więc \(r – s = -12 – (-20)\), a nie \(-12-20\).

Ostatecznie otrzymujemy \(1,5\cdot10^8\), a więc odpowiedź C.

Przydatne linki: Działania na potęgach

Zadanie 2/maj 2019

Liczba naturalna \(n = 2^{14} \cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma

A. \(14\) cyfr
B. \(15\) cyfr
C. \(16\) cyfr
D. \(30\) cyfr

Jak się pewnie domyślasz, nie musisz w tym zadaniu liczyć po kolei, ile to jest \(2^{14}\), ile \(5^{15}\) i mnożyć tych wyników przez siebie. Gdy mamy potęgi, które nie są zbyt wygodne do liczenia, to zawsze próbujemy jakoś tak pokombinować, żeby otrzymać albo takie same podstawy (ta duża liczba na dole), albo takie same wykładniki (ta mała liczba na górze). Na takie same podstawy mamy niewielkie szanse, natomiast na takie same wykładniki jak najbardziej: wystarczy, że zapiszemy \(5^{15}\) jako \(5^{14}\cdot 5^1\):

\(\hspace{2.5cm}n=2^{14} \cdot 5^{15}=2^{14} \cdot 5^{14}\cdot 5^1\)

Skorzystaliśmy tutaj z tego wzoru:

\( a^r\cdot a^s = a^{r+s}\)

Następny wzór, którego użyjemy, wygląda tak:

\( (a\cdot b)^r = a^r\cdot b^r \)

Zgodnie z tym wzorem \(2^{14} \cdot 5^{14}\) możemy zapisać jako \((2\cdot 5)^{14}\). Wstawmy to do naszego wyrażenia:

\(\hspace{2.5cm}n=2^{14} \cdot 5^{14}\cdot 5^1=(2\cdot 5)^{14}\cdot 5^1\)

\(2\cdot 5\) to \(10\), a \(5^1\) to po prostu \(5\):

\(\hspace{2.5cm}n=(2\cdot 5)^{14}\cdot 5^1=10^{14}\cdot 5\)

\(10^{14}\) to \(100000000000000\), czyli jeden i \(14\) zer. Gdy pomnożymy to przez \(5\), otrzymamy \(500000000000000\), czyli pięć i \(14\) zer – tak więc liczba ma \(15\) cyfr – odpowiedź B.

Przydatne linki: Działania na potęgach

______________________________________________

Na koniec: arkusze maturalne wraz z zasadami oceniania znajdziesz tu; podstawę programową znajdziesz tu (po lewej stronie znajduje się przycisk download; to, co Ciebie interesuje, zaczyna się na stronie 41); kartę wzorów, która zostanie Ci udostępniona na maturze, znajdziesz tu; pozostałe posty z tej serii oraz rozwiązania zadań maturalnych znajdziesz tu.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!