Matura Trygonometria

Przygotowanie do matury – trygonometria

W karcie wzorów ten dział znajduje się w rozdziale nr 12. Dodatkowo potrzebna Ci będzie tablica wartości funkcji trygonometrycznych, która znajduje się w rozdziale nr 18. Wszystkie potrzebne wzory z tego działu znajdują się w karcie, nie musisz niczego zapamiętywać.

Wzory, które są w karcie

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{a}{c}\)\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\beta=\large\frac{b}{c}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos\alpha=\large\frac{b}{c}\)\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos\beta=\large\frac{a}{c}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\text{tg}\alpha=\large\frac{a}{b}\)\(\hspace{2.5cm}\)\(\text{tg}\beta=\large\frac{b}{a}\)

Definicje funkcji trygonometrycznych

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{y}{r}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos\alpha=\large\frac{x}{r}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\text{tg}\alpha=\large\frac{y}{x}\)

\(\hspace{1.5cm}\)gdzie \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)

Związki między funkcjami tego samego kąta

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\text{tg}\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

\(\alpha\) \(0^o\)/\(0\) \(30^o\)/\(\large\frac{\pi}{6}\) \(45^o\)/\(\large\frac{\pi}{4}\) \(60^o\)/\(\large\frac{\pi}{3}\) \(90^o\)/\(\large\frac{\pi}{2}\)
\(\sin\alpha\) \(0\) \(\large\frac{1}{2}\) \(\large\frac{\sqrt2}{2}\) \(\large\frac{\sqrt3}{2}\) \(1\)
\(\cos\alpha\) \(1\) \(\large\frac{\sqrt3}{2}\) \(\large\frac{\sqrt2}{2}\) \(\large\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\text{tg}\alpha\) \(0\) \(\large\frac{\sqrt3}{3}\) \(1\) \(\sqrt3\) \(\text{nie istnieje}\)

W tabeli w karcie kąty zapisane są nie tylko w mierze stopniowej (czyli np. \(30^o\)), ale także łukowej (np. \(\large\frac{\pi}{6}\)). Ten zapis jest dla poziomu rozszerzonego, możesz się nim nie przejmować.

Wybrane wzory redukcyjne

(w tej rubryce w karcie jest cała lista wzorów, Ciebie obowiązuje tylko pierwszy z nich)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\)

Dodatkowo, jak wspominałam, obowiązuje Cię tabela wartości funkcji trygonometrycznych, która znajduje się na końcu karty.

Wymagane zagadnienia

Uczeń wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od \(0^o\) do \(180^o\).

\(\hspace{2.5cm}\)Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych – część 1

\(\hspace{2.5cm}\)Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych – część 2

Uczeń oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną).

\(\hspace{2.5cm}\)Korzystanie z tablic wartości funkcji trygonometrycznych

Uczeń stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\text{tg}\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) oraz \(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\).

\(\hspace{2.5cm}\)Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Uczeń, znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

\(\hspace{2.5cm}\)Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych – część 3

Uczeń korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora).

\(\hspace{2.5cm}\)To zagadnienie omówię przy okazji planimetrii i stereometrii.

Zadania maturalne

Zadanie 14/maj 2015

Tangens kąta \(\alpha\) zaznaczonego na rysunku jest równy

A. \(-\large\frac{\sqrt{3}}{3}\)
B. \(-\large\frac{4}{5}\)
C. \(-1\)
D. \(-\large\frac{5}{4}\)

Tangens kąta \(\alpha\) wyznaczymy zgodnie ze wzorem

\(\text{tg}\alpha=\large\frac{y}{x}\)

gdzie \(x\) i \(y\) to współrzędne punktu.

\(\hspace{2.5cm}\)\(\text{tg}\alpha=\large\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\)

Odpowiedź D.

Przydatne linki: Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych – część 2

Zadanie 15/maj 2015

Jeżeli \(0^o<\alpha < 90^o\) oraz \(\text{tg}\alpha=2\sin\alpha\), to

A. \(\cos\alpha =\large\frac{1}{2}\)
B. \(\cos\alpha =\large\frac{\sqrt2}{2}\)
C. \(\cos\alpha =\large\frac{\sqrt3}{2}\)
D. \(\cos\alpha =1\)

Wzorów pozwalających na przejście między funkcjami trygometrycznymi mamy trzy (na poziomie podstawowym). Ponieważ w odpowiedziach mamy cosinus, wybiorę wzór, dzięki któremu ten cosinus się pojawi:

\(\text{tg}\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

Użyję go w równaniu, które mamy dane w zadaniu:

\(\hspace{2.5cm}\)\(\text{tg}\alpha=2\sin\alpha\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)\(=2\sin\alpha\)

Teraz uprościmy równanie, pozbywając się ułamka. Aby to zrobić, mnożymy równanie obustronnie przez \(\cos\alpha\):

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)\(\cdot\cos\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha\)

Po lewej stronie \(\cos\alpha\) nam się skróci:

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large\frac{\sin\alpha}{\cancel{\cos\alpha}^1}\)\(\cdot\cancel{\cos\alpha}^1=2\sin\alpha\cos\alpha\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)

Ponieważ mamy wyznaczyć \(\cos\alpha\), zrobię teraz tak, aby po jednej stronie mieć właśnie cosinus, a po drugiej wszystko pozostałe. Dzielę zatem równanie przez to, co stoi przy cosinusie, czyli przez \(2\sin\alpha\):

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large\frac{\sin\alpha}{2\sin\alpha}\)\(=\cos\alpha\)

Jak widzisz, \(\sin\alpha\) nam się skróci:

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large\frac{\cancel{\sin\alpha}^1}{2\cancel{\sin\alpha}^1}\)\(=\cos\alpha\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large\frac{1}{2}\)\(=\cos\alpha\)

Otrzymaliśmy odpowiedź A.

Przydatne linki: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi, Rozwiązywanie równań liniowych

Zadanie 17/maj 2016

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\text{tg}\alpha=\large\frac{2}{3}\). Wtedy

A. \(\sin\alpha=\large\frac{3\sqrt{13}}{26}\)
B. \(\sin\alpha=\large\frac{\sqrt{13}}{13}\)
C. \(\sin\alpha=\large\frac{2\sqrt{13}}{13}\)
D. \(\sin\alpha=\large\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Wiemy, że \(\text{tg}\alpha=\large\frac{2}{3}\). Pozwala nam to nieco powiedzieć o bokach trójkąta, w którym ten kąt się znajduje. Wiemy, że

\(\text{tg}\alpha=\large\frac{a}{b}\)

gdzie \(a\) jest bokiem naprzeciwko kąta \(\alpha\), \(c\) jest przeciwprostokątną, a \(b\) to ten bok, który został.

Stąd \(a=2x\) i \(b=3x\). O tym, dlaczego nie po prostu \(2\) i \(3\) przeczytasz w tym poście.

My chcemy wyznaczyć sinus, który otrzymamy ze wzoru

\(\sin\alpha=\large\frac{a}{c}\)

Długość \(c\) możemy łatwo znaleźć z twierdzenia Pitagorasa:

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\hspace{2.5cm}\)\((2x)^2+(3x)^2=c^2\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(4x^2+9x^2=c^2\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(13x^2=c^2\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sqrt{13}x=c\)

Teraz możemy wyznaczyć \(\sin\alpha\):

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{a}{c}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{2x}{\sqrt{13}x}\)

Możemy skrócić \(x\)-y:

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{2\cancel{x}^1}{\sqrt{13}\cancel{x}^1}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{2}{\sqrt{13}}\)

Nie ma takiej odpowiedzi, więc to, co otrzymaliśmy, musimy trochę przekształcić. To, co możemy zrobić, to usunąć pierwiastek z mianownika:

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot\large\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\large\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

Odpowiedź C.

Przydatne linki: Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych – część 3, Usuwanie niewymierności z mianownika

Zadanie 14/maj 2017

Jeśli \(m = \sin 50^o\), to

A. \(m = \sin 40^o\)
B. \(m = \cos 40^o\)
C. \(m = \cos 50^o\)
D. \(m = \text{tg}50^o\)

Wiemy, że \(m = \sin 50^o\) i chcemy tę wartość wyrazić przy użyciu innej funkcji trygonometrycznej (cosinusa lub tangensa). Mamy wzór, który nam to umożliwia:

\(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\)

Mamy dany \(\sin50^o\), co możemy inaczej zapisać jako \(\sin(90^o-40^o)\). Zgodnie ze wzorem otrzymujemy:

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin(90^o-40^o)=\cos40^o\)

Pełne przejście wygląda tak:

\(\hspace{2.5cm}\)\(m=\sin50^o=\sin(90^o-40^o)=\cos40^o\)

Stąd \(m=\cos40^o\). Odpowiedź B.

Przydatne linki: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Zadanie 22/maj 2017

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

A. \(\large\frac{\sqrt3}{2}\)
B. \(\large\frac{\sqrt2}{2}\)
C. \(\large\frac{1}{2}\)
D. \(1\)

Z zadania wiemy, że \(\text{|AS|=|OS|}\). Oznaczmy to sobie na rysunku.

To znaczy, że ten trójkąt jest równoramienny. Ponieważ kąt \(\text{OSA}\) jest prosty, to oznacza, że pozostałe dwa kąty mają po \(45^o\) (bo suma kątów w trójkącie to \(180^o\)).

Mamy wyznaczyć sinus kąta \(\text{OAS}\). Kąt ten ma miarę \(45^o\). W tabeli możemy sprawdzić, że \(\sin45^o=\large\frac{\sqrt2}{2}\).

Odpowiedź B.

Przydatne linki: Korzystanie z tablic wartości funkcji trygonometrycznych

Zadanie 14/maj 2018

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek).

Wtedy miara \(\alpha\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

A. \(27^o<\alpha \leq 30^o\)
B. \(24^o<\alpha \leq 27^o\)
C. \(21^o<\alpha \leq 24^o\)
D. \(18^o<\alpha \leq 21^o\)

Miarę kąta \(\alpha\) możemy łatwo wyznaczyć, korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych. Aby to zrobić, musimy wyznaczyć wartość którejś z funkcji dla tego kąta. Ponieważ mamy podane wielkości \(a\) oraz \(c\), najłatwiej będzie skorzystać z sinusa:

\(\sin\alpha=\large\frac{a}{c}\)

gdzie \(a=3\) i \(c=8\) (\(a\) jest bokiem naprzeciwko kąta \(\alpha\), \(c\) jest przeciwprostokątną, a \(b\) to ten bok, który został).

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=\large\frac{3}{8}\)

Wpisujemy w kalkulator \(3:8\), bo w tablicach mamy wyniki w postaci ułamków dziesiętnych. Otrzymujemy

\(\hspace{2.5cm}\)\(\sin\alpha=0,375\)

Sprawdzamy w tablicach, która wartość w rubryce z sinusem jest najbliższa \(0,375\).

Gdy już ją znaleźliśmy, odczytujemy odpowiadający jej kąt. Aby to zrobić, patrzymy, jaki kąt stoi przy sinusie (jest to \(\alpha\)). Dlatego idziemy do rubryki po lewej stronie z kątem \(\alpha\). Szukany kąt wynosi \(22^o\).

Wracamy teraz do odpowiedzi. Nasz kąt znajduje się w przedziale między \(21^o\) a \(24^o\). Odpowiedź C.

Przydatne linki: Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych – część 1, Korzystanie z tablic wartości funkcji trygonometrycznych

Zadanie 13/maj 2019

Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\large\frac{4}{5}\). Wtedy

A. \(\cos\alpha=\large\frac{5}{4}\)
B. \(\cos\alpha=\large\frac{1}{5}\)
C. \(\cos\alpha=\large\frac{9}{25}\)
D. \(\cos\alpha=\large\frac{3}{5}\)

To zadanie można rozwiązać na dwa sposoby. Pierwszy sposób pokazałam Ci w zadaniu 17 z maja 2016 roku. Drugi sposób to skorzystanie ze wzoru na jedynkę trygonometryczną:

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

Za \(\sin\alpha\) podstawiamy \(\large\frac{4}{5}\):

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large(\frac{4}{5})^2\)\(+\cos^2\alpha=1\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\large\frac{16}{25}\)\(+\cos^2\alpha=1\)

Chcemy znaleźć \(\cos\alpha\), więc zostawiamy go po jednej stronie, a liczby przenosimy na drugą:

\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos^2\alpha=1-\large\frac{16}{25}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos^2\alpha=\large\frac{25}{25}-\large\frac{16}{25}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos^2\alpha=\large\frac{9}{25}\)

Wyznaczyliśmy \(\cos^2\alpha\); teraz wynik włożymy pod pierwiastek, aby uzyskać \(\cos\alpha\):

\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos\alpha=\large\sqrt{\frac{9}{25}}\)

\(\hspace{2.5cm}\)\(\cos\alpha=\large\frac{3}{5}\)

Odpowiedź D.

Przydatne linki: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi, Rozwiązywanie równań liniowych

______________________________________________

Na koniec: arkusze maturalne wraz z zasadami oceniania znajdziesz tu; podstawę programową znajdziesz tu (po lewej stronie znajduje się przycisk download; to, co Ciebie interesuje, zaczyna się na stronie 41); kartę wzorów, która zostanie Ci udostępniona na maturze, znajdziesz tu; pozostałe posty z tej serii oraz rozwiązania zadań maturalnych znajdziesz tu.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!