Nierówności liniowe

Rozwiązywanie nierówności liniowych

Zasady rozwiązywania nierówności liniowych są bardzo podobne do zasad rozwiązywania równań. Dlatego części wspólne omówię krótko, a bardziej skupię się na tym, co w nierównościach jest inne. Jeśli więc po przeczytaniu tego wpisu będziesz czuć niedosyt, to zapraszam Cię do posta o równaniach.

Najbardziej podstawowa nierówność wygląda na przykład tak: \(x>-3\). Albo tak: \(x\leq4\). Pierwszą czytamy „\(x\) jest większe od \(-3\)”, a drugą – „\(x\) jest mniejsze bądź równe \(4\)”. To jest postać, do której nierówność chcemy sprowadzić, gdy początkowo wygląda bardziej skomplikowanie.

Jeśli przy \(x\)-ie stoi liczba, to podobnie jak przy równaniach, dzielimy nierówność obustronnie przez to, co przy tym \(x\)-ie stoi. Ale uwaga: jeśli dzielimy (lub mnożymy) przez ujemną liczbę, to znak nierówności zmienia się na przeciwny. Powiedzmy, że mamy taką nierówność:

\(3x>6\)

Dzielimy obustronnie przez \(3\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmieni:

\(x>\large\frac{6}{3}\)

Możemy skrócić:

\(x>\large\frac{\cancel{6}^2}{\cancel{3}^1}\)

\(x>\large\frac{2}{1}\)

\(x>2\)

A teraz taka nierówność:

\(-4x\leq 2\)

Dzielimy obustronnie przez \(-4\). Jest to liczba ujemna, więc odwracamy znak nierówności:

\(x\geq\large\frac{2}{-4}\)

Skracamy:

\(x\geq-\large\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{4}^2}\)

\(x\geq-\large\frac{1}{2}\)

Podobnie sytuacja wygląda, gdy mamy taką nierówność:

\(-x<15\)

Tak jak przy równaniach, możemy zamienić znaki po obu stronach, ale wtedy również musimy odwrócić znak nierówności (wynika to z faktu, że obustronna zamiana znaków to po prostu obustronne pomnożenie przez \(-1\)).

\(x>-15\)

Jeśli nierówność jest bardziej skomplikowana, to działamy tak samo, jak przy równaniach.

\(3x+5\geq 7x-16\)

Przerzucam liczby na prawą stronę, a \(x\)-y na lewą:

\(3x-7x \geq -16 -5\)

Porządkuję:

\(-4x \geq -21\)

Dzielę obustronnie przez \(-4\). Ponieważ jest to ujemna liczba, zmieniam znak nierówności na przeciwny:

\(x \leq \large\frac{-21}{-4}\)

Mamy dzielenie dwóch ujemnych liczb, zatem wynik będzie dodatni. Mogę więc usunąć minusy:

\(x \leq \large\frac{21}{4}\)

Zamienię jeszcze ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:

\(x \leq 5\large\frac{1}{4}\)

Jeśli chodzi o przypadki z ułamkami, to tu, podobnie jak przy równaniach, mnożymy obustronnie przez wspólny mianownik. Weźmy na przykład taką nierówność:

\(\large \frac{x}{3}+6 > \frac{2x+1}{2}\)

Mamy tu dwa ułamki. Wspólny mianownik dla liczb \(2\) i \(3\) to \(6\), a więc mnożę nierówność obustronnie przez tę liczbę:

\(\large 6\cdot\frac{x}{3}+6\cdot 6 > 6\cdot\frac{2x+1}{2}\)

Mogę teraz sobie poskracać:

\(\large \cancel{6}^2\cdot\frac{x}{\cancel{3}^1}+6\cdot 6 >\cancel{6}^3\cdot\frac{2x+1}{\cancel{2}^1}\)

\(\large 2\cdot\frac{x}{1}+6\cdot 6 > 3\cdot\frac{2x+1}{1}\)

W ten sposób pozbyłam się ułamków:

\(2x+36>3(2x+1)\)

Teraz pozbywam się nawiasów:

\(2x+36>6x+3\)

Przerzucam \(x\)-y na lewą stronę, a liczby na prawą:

\(2x-6x>3-36\)

Porządkuję:

\(-4x>-33\)

Teraz dzielę obustronnie przez \(-4\). Zmieniam przy tym znak nierówności, bo jest to liczba ujemna:

\(x<\large\frac{-33}{-4}\)

Iloraz dwóch ujemnych liczb jest dodatni, więc pozbywam się minusów:

\(x<\large\frac{33}{4}\)

Na koniec zamieniam ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:

\(x<8\large\frac{1}{4}\)

W nierównościach z ułamkami jest jedna rzecz, która jest inna, niż w równaniach. Jeśli czytałeś post o rozwiązywaniu równań, to pewnie pamiętasz, że mówiłam, że jeśli po jednej i po drugiej stronie mamy tylko ułamek, to możemy „pomnożyć na skos” i w ten sposób tego ułamka się pozbyć. Przy nierównościach raczej bym to odradzała, bo bardzo łatwo jest pomylić strony. W takiej sytuacji moim zdaniem bezpieczniej jest po prostu pomnożyć nierówność przez wspólny mianownik, tak jak przy innych nierównościach z ułamkami. Weźmy na przykład taką nierówność:

\(\large\frac{x+5}{4}\leq\frac{-2x+1}{3}\)

Pomnożę nierówność obustronnie przez wspólny mianownik, czyli przez \(12\):

\(\large 12\cdot\frac{x+5}{4}\leq12\cdot\frac{-2x+1}{3}\)

Teraz mogę sobie poskracać:

\(\large \cancel{12}^3\cdot\frac{x+5}{\cancel{4}^1}\leq\cancel{12}^4\cdot\frac{-2x+1}{\cancel{3}^1}\)

\(\large 3\cdot\frac{x+5}{1}\leq 4\cdot\frac{-2x+1}{1}\)

Dzięki temu pozbyliśmy się ułamków:

\( 3(x+5)\leq 4(-2x+1)\)

Przy pozbywaniu się ułamków koniecznie pamiętaj o nawiasach! Teraz będę się ich pozbywać:

\(3x+15\leq -8x+4\)

Teraz przerzucam \(x\)-y na lewą stronę, a liczby na prawą:

\(3x+8x\leq 4-15\)

Porządkuję:

\(11x\leq -11\)

Dzielę obustronnie przez \(11\). Jest to dodatnia liczba, więc nie zmieniam znaku nierówności:

\(x\leq \large\frac{-11}{11}\)

\(x\leq -1\)

Jeśli chodzi o przekształcanie nierówności, to w zasadzie byłoby na tyle. Na tym jednak nasze rozwiązanie się nie kończy – rozwiązaniem nie jest bowiem pojedyncza liczba, jak w przypadku równania, ale cały zbiór liczb. Możemy go zapisać w postaci przedziału lub narysować na osi.

Powiedzmy, że mamy już nierówność doprowadzoną do końcowej postaci, czyli na przykład \(x<6\). Najpierw zaznaczymy sobie zbiór rozwiązań na osi. Aby to zrobić, najpierw rysujemy oś:

Następnie zaznaczamy na osi liczbę \(6\):

W naszym przypadku mamy tak zwaną nierówność ostrą – \(x\) jest mniejszy (a nie mniejszy lub równy) \(6\). Dlatego nad szóstką rysujemy niezamalowane kółko:

Ponieważ \(x\) jest mniejszy od szóstki, zaznaczamy liczby na lewo od tej niej:

To jest rozwiązanie w formie graficznej. Teraz zapiszemy je jeszcze w formie przedziału. Z rysunku możemy odczytać, że \(x\) należy od minus nieskończoności do \(6\) – i właśnie to zapiszemy, tylko przy użyciu symboli matematycznych:

\(x\in (-\infty;6)\)

Po obu stronach mamy okrągłe nawiasy. Po lewej stronie wynika to z tego, że przy nieskończonościach zawsze stawiamy okrągłe nawiasy. Po prawej stronie natomiast mamy okrągły nawias, ponieważ szóstka nie należy do tego przedziału (\(x\) jest mniejszy od \(6\), zatem \(x\) nie może być szóstką) i właśnie przez okrągły nawias to oznaczamy.

Inny przykład:

\(x\geq -2\large\frac{1}{3}\)

Najpierw rysujemy oś:

Następnie zaznaczamy na niej liczbę \(-2\large\frac{1}{3}\):

Ponieważ mamy nieostrą nierówność (to znaczy, że \(x\) jest większy lub równy), nad liczbą rysujemy zamalowane kółko:

Ze względu na to, że \(x\) jest większy bądź równy \(-2\large\frac{1}{3}\), zaznaczamy na osi liczby większe od \(-2\large\frac{1}{3}\), czyli te po prawej stronie.

Mamy już rozwiązanie graficzne. Teraz zapiszemy je sobie w formie przedziału. Z rysunku możemy odczytać, że \(x\) należy do zbioru liczb od \(-2\large\frac{1}{3}\) do plus nieskończoności. Zapiszmy do sobie przy użyciu symboli matematycznych:

\(\large x\in \langle -2\frac{1}{3};+\infty)\)

Zauważ, że tym razem mamy po lewej stronie „dzióbkowaty” nawias, a nie okrągły – to dlatego, że mamy nierówność nieostrą (\(x\) jest większy bądź równy \(-2\large\frac{1}{3}\)), z czego wynika, że liczba \(-2\large\frac{1}{3}\) należy do tego przedziału. Aby to zaznaczyć, używamy właśnie takich „dzióbkowatych” nawiasów.

Podsumowując – jeśli mamy znak nierówności z taką kreseczką u dołu (\(\leq\) lub \(\geq\)), to na osi rysujemy zamalowane kółeczko i używamy „dzióbkowatych” nawiasów. Jeśli znak nierówności nie ma tej kreseczki (\(<\) lub \(>\)), to rysujemy niezamalowane kółeczko i używamy okrągłych nawiasów. Nawiasy przy nieskończonościach są zawsze okrągłe.

Może nam się zdarzyć taki przypadek, że dostaniemy do rozwiązania podwójną nierówność, na przykład taką:

\(3<x-2\leq 7\)

W takiej sytuacji rozdzielamy ją sobie na dwie nierówności:

\(3<x-2\)

\(x-2\leq7\)

Każdą z nich przekształcamy osobno. Dla pierwszej będzie to wyglądało tak:

\(3<x-2\)

\(-x<-2-3\)

\(-x<-5\)

\(x>5\)

Natomiast dla drugiej tak:

\(x-2\leq 7\)

\(x\leq 7+2\)

\(x\leq 9\)

Mamy więc dwie nierówności: \(x>5\) oraz \(x\leq 9\). Zaznaczymy je teraz na jednej osi liczbowej. Najpierw \(x>5\). Rysuję oś i zaznaczam na niej \(5\). Nad piątką rysuję niezamalowane kółeczko:

Następnie zaznaczam liczby większe od piątki, czyli te po prawej stronie (póki co jeszcze nie zamalowuję przedziału):

Teraz druga nierówność, czyli \(x\leq 9\). Zaznaczam na osi dziewiątkę, a nad nią zamalowane kółeczko:

Następnie zaznaczam liczby mniejsze od dziewiątki, czyli te po lewej stronie:

Teraz wybieram część wspólną dla obu tych przedziałów:

Będzie to przedział od \(5\) (piątka nie należy do przedziału), do \(9\) (dziewiątka należy do przedziału):

Zapiszę to teraz przy użyciu symboli matematycznych:

\(x \in (5;9\rangle\)

Przy liczbie, która nie należy do przedziału, stawiam okrągły nawias, a przy tej, która należy, stawiam „dzióbkowaty”.

Mam nadzieję, że udało mi się to jasno wytłumaczyć 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!