Równania liniowe

Rozwiązywanie równań liniowych

Z równaniami jest tak, że teoretycznie każdy z nas potrafi je rozwiązywać, ale czasem trafi się takie, że tylko ręce rozłożyć – trzysta ułamków i czterysta nawiasów w jednym miejscu. Nauczymy się dziś radzić sobie z takimi przypadkami. Ale najpierw dla porządku zacznę od tych najprostszych.

Chciałabym w tym miejscu zaznaczyć, że sposoby na rozwiązywanie równań, które prezentuję, nie są jedynymi słusznymi. Piszę na przykład, że najpierw należy pozbyć się nawiasów, a dopiero potem możemy przenosić \(x\)-y czy liczby na drugą stronę. Nie jest to do końca prawda, bo osoba, która jest biegła w rozwiązywaniu równań może to zrobić w innej kolejności i też będzie dobrze. Chodzi po prostu o to, że kolejność, którą tu proponuję, generuje najmniejsze ryzyko popełnienia błędów rachunkowych. Jeśli jednak robisz coś inaczej niż ja i masz pewność, że robisz to dobrze, to rób tak dalej 🙂

_________________________________________________

Najprostsze możliwe równanie, jakie tylko istnieje, to np. \(x=1\). Albo \(x=-3\). Z nim już nic nie musimy robić, bo jest ono jednocześnie rozwiązaniem. Oczko trudniejsze jest równanie typu \(2x=6\) – przy \(x\)-ie stoi liczba. Aby rozwiązać takie równanie, należy podzielić je obustronnie przez to, co przy tym \(x\)-ie stoi (w naszym wypadku przez \(2\)):

\(2x=6\hspace{2.5cm}/:2\)

Po lewej stronie zostanie nam sam \(x\), natomiast po prawej ułamek:

\(x=\large\frac{6}{2}\)

Ułamek możemy sobie skrócić:

\(x=\large\frac{\cancel{6}^3}{\cancel{2}^1}\)

\(x=\large\frac{3}{1}\)

\(x=3\)

Krok dalej są równania, które trzeba porządkować, np. takie: \(3x+4=x+8\). Wtedy \(x\)-y przerzucamy na jedną stronę (zazwyczaj lewą), a liczby na drugą (zazwyczaj prawą). Robimy to zawsze ze zmianą znaku – jeśli po prawej stronie mieliśmy na przykład \(2x\), to po przerzuceniu na lewą stronę będziemy mieli \(-2x\).

\(3x+4=x+8\)

Przerzucamy \(x\) na lewą stronę, a \(4\) na prawą:

\(3x-x=8-4\)

Porządkujemy równanie:

\(2x=4\)

Dzielimy obustronnie przez to, co stoi przy \(x\)-ie, czyli przez \(2\):

\(x=\large\frac{4}{2}\)

Skracamy:

\(x=\large\frac{\cancel{4}^2}{\cancel{2}^1}\)

\(x=\large\frac{2}{1}\)

\(x=2\)

Jeśli trafi nam się taki przypadek, że po jednej stronie mamy \(-x\), a po drugiej liczbę, możemy po obu stronach zmienić znaki:

\(-x=3\)

\(x=-3\)

Po prostu pomnożyłam obustronnie przez \(-1\). Pamiętajmy, że równanie jest rozwiązane, gdy doprowadzimy je do postaci \(x=\)liczba, a nie \(-x=\) liczba – wiele osób w takiej właśnie formie je zostawia, a jest to błąd.

No dobra, te podstawowe przypadki mamy za sobą, teraz przejdziemy do tych bardziej skomplikowanych: z nawiasami, ułamkami i pierwiastkami.

Równanie z nawiasami

Jeśli w równaniu pojawiają się nawiasy, to zazwyczaj najlepiej jest się ich pozbyć, zanim będziemy dalej rozwiązywać równanie. Zajmiemy się czterema przypadkami. Pierwszy: mamy nawias, a przed nim minus:

\(4x\underline{-(2x+3)}=5\underline{-(2x-8)}\)

W takiej sytuacji pozbywamy się nawiasów zamieniając znaki wszystkich członów w nawiasie:

\(4x\underline{-2x-3}=5\underline{-2x+8}\)

Teraz możemy poprzerzucać \(x\)-y na jedną stronę, a liczby na drugą:

\(4x-2x+2x=5+8+3\)

Porządkujemy równanie:

\(4x=16\)

Dzielimy obustronnie przez to, co stoi przy \(x\)-ie:

\(x=\large\frac{16}{4}\)

Skracamy:

\(x=\large\frac{\cancel{16}^4}{\cancel{4}^1}\)

\(x=\large\frac{4}{1}\)

\(x=4\)

Drugi przypadek: mamy dodawanie lub odejmowanie ujemnej liczby:

\(-x\underline{+(-5)}=3x+2 \underline{- (-4)}\)

W tej sytuacji pozbycie się nawiasów jest bardzo proste: \(+(-5)\) to to samo, co \(-5\). Natomiast \(-(-4)\) to to samo, co \(+4\).

\(-x\underline{-5}=3x+2 \underline{+4}\)

Dalej rozwiązuję równanie tak, jak zwykle:

\(-x-3x=2+4+5\)

\(-4x=11\)

\(x=\large\frac{11}{-4}\)

\(x=-2\large\frac{3}{4}\)

Trzeci przypadek: mamy nawias, a przed nim liczbę:

\(\underline{3(2x-5)}+6= 5x \underline{- 4(-2+4x)}\)

W takiej sytuacji wymnażam wszystkie człony, które są w nawiasie, przez liczbę stojącą przed nawiasem. U nas jest to \(3\) po lewej stronie i \(-4\) (nie \(4\)!) po prawej:

\(\underline{6x-15}+6=5x\underline{+8-16x}\)

Dalej rozwiązuję tak, jak zwykle:

\(6x-5x+16x=8+15-6\)

\(17x=17\)

\(x=\large \frac{\cancel{17}^1}{\cancel{17}^1}\)

\(x=1\)

Czwarty przypadek jest taki, że mamy dwa nawiasy pomnożone przez siebie:

\(-8x+6=7x + \underline{(2x-6)(-2+\sqrt{3})}\)

W takiej sytuacji pozbywamy się ich, wymnażając każdy człon z pierwszego nawiasu z każdym członem z drugiego nawiasu (pamiętajmy przy tym o znakach!):

\(-8x+6=7x \underline{-4x + 2\sqrt{3}x+12-6\sqrt{3}}\)

Jak widzisz, w tym równaniu pojawiły się nam pierwiastki. O tym, jak sobie z nimi poradzić, opowiem nieco dalej, a póki co zostawmy to równanie 🙂

Może się zdarzyć tak, że przed dwoma nawiasami dodatkowo będzie liczba:

\(-8x+6=7x + \underline{4(2x-6)(-2+\sqrt{3})}\)

W takiej sytuacji najpierw wymnażamy zawartość pierwszego nawiasu przez liczbę, a następnie pierwszy nawias wymnażamy przez drugi:

\(-8x+6=7x + \underline{(8x-24)(-2+\sqrt{3})}\)

\(-8x+6=7x \underline{-16x+8\sqrt{3}x+48-24\sqrt{3}}\)

Sytuacja wygląda podobnie, gdy przed nawiasami znajduje się minus:

\(-8x+6=7x \underline{-(2x-6)(-2+\sqrt{3})}\)

Najpierw „wciągam” minus do pierwszego nawiasu, zmieniając w nim znaki:

\(-8x+6=7x +\underline{(-2x+6)(-2+\sqrt{3})}\)

Teraz wymnażam przez siebie nawiasy:

\(-8x+6=7x +\underline{4x-2\sqrt{3}x-12+6\sqrt{3}}\)

Równania z ułamkami

Zasada przy ułamkach jest bardzo prosta: chcemy się ich pozbyć 😀 Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć obustronnie równanie przez wspólny mianownik wszystkich ułamków, które się w nim znajdują. Pokażę Ci to na dwóch przykładach. Pierwszy:

\(\large\frac{1}{3}\)\(x=6\)

Mamy tylko jeden ułamek, więc mnożymy przez jego mianownik – czyli przez \(3\):

\(3\cdot\large\frac{1}{3}\)\(x=3\cdot6\)

Dzięki temu po lewej stronie trójki nam się skrócą:

\(\cancel{3}^1\cdot\large\frac{1}{\cancel{3}^1}\)\(x=3\cdot6\)

Po lewej stronie zostanie nam po prostu \(x\):

\(x=3\cdot6\)

\(x=18\)

Teraz trochę bardziej skomplikowany przykład:

\(\large \frac{x}{2}-\frac{x-3}{3}=\frac{x-8}{4}\)

Mnożymy obustronnie przez wspólny mianownik wszystkich ułamków. Wspólnym mianownikiem dla liczb \(2, 3\) i \(4\) jest \(12\).

\(12\cdot\large\frac{x}{2}\)\(-12\cdot\large\frac{x-3}{3}\)\(=12\cdot\large\frac{x-8}{4}\)

Teraz możemy sobie poskracać i w ten sposób pozbyć się ułamków:

\(\cancel{12}^6\cdot\large\frac{x}{\cancel{2}^1}\)\(-\cancel{12}^4\cdot\large\frac{x-3}{\cancel{3}^1}\)\(=\cancel{12}^3\cdot\large\frac{x-8}{\cancel{4}^1}\)

\(6\cdot\large\frac{x}{1}\)\(-4\cdot\large\frac{x-3}{1}\)\(=3\cdot\large\frac{x-8}{1}\)

\( 6\cdot x-4\cdot(x-3)=3\cdot(x-8)\)

Zwróć uwagę, że po usunięciu ułamków liczniki umieściłam w nawiasach (o ile był w nich więcej niż jeden człon). Teraz pozbywam się nawiasów:

\(6x-4x+12=3x-24\)

Dalej rozwiązuję tak, jak zawsze:

\(6x-4x-3x=-24-12\)

\(-x=-36\)

\(x=36\)

Jeśli mamy równanie, w którym po jednej i drugiej stronie występuje jeden ułamek i nic więcej, to możemy zastosować tak zwane mnożenie na skos.

\(\large\frac{3x+4}{5}=\frac{x-1}{7}\)

Schemat jest następujący: lewa góra razy prawy dół równa się prawa góra razy lewy dół:

\((3x+4)\cdot 7 = (x-1)\cdot 5\)

Teraz pozbywamy się nawiasów wymnażając je przez liczbę:

\(21x+28=5x-5\)

Dalej rozwiązujemy jak zwykle:

\(21x-5x=-5-28\)

\(16x=-33\)

\(x=-\large\frac{33}{16}\)

\(x=-2\large\frac{1}{16}\)

Zauważ, że i w przypadku nawiasów, i ułamków, chodzi o to, by się ich jak najszybciej pozbyć. Dzięki temu otrzymujemy równanie w postaci, którą znamy jeszcze ze szkoły podstawowej.

Równanie z pierwiastkami

Gdy pierwiastki nie występują przy \(x\)-ie, to nie musimy się nimi specjalnie przejmować – po prostu wynik będzie z pierwiastkiem i tyle. Należy przy tym pamiętać, że liczby całkowitej i pierwiastka nie można do siebie dodać (o działaniach na pierwiastkach możesz poczytać tutaj). Weźmy na przykład takie równanie:

\(2x+5-\sqrt{5}=3\sqrt{5}+4-8x\)

Tak jak zwykle, liczby przerzucam na jedną stronę, a \(x\)-y na drugą:

\(2x+8x=3\sqrt{5}+4+\sqrt{5}-5\)

Porządkujemy równanie pamiętając przy tym, że liczby całkowite dodajemy osobno, a pierwiastki osobno:

\(10x=4\sqrt{5}-1\)

Dzielę obustronnie przez to, co stoi przy \(x\)-ie:

\(x=\large\frac{4\sqrt{5}-1}{10}\)

Wynik wygląda wstrętnie, ale jest jak najbardziej poprawny.

Gdy mamy przy \(x\)-ie pierwiastki i tylko pierwiastki (i są one takie same), to zasada działania wciąż jest taka sama.

\(2\sqrt{7}x-8=16+6\sqrt{7}x – \sqrt{3}\)

Przerzucam liczby na jedną stronę, a \(x\)-y na drugą:

\(2\sqrt{7}x-6\sqrt{7}x=16 – \sqrt{3}+8\)

Po lewej stronie mamy takie same pierwiastki, zatem możemy wykonać odejmowanie:

\(-4\sqrt{7}x=16 – \sqrt{3}+8\)

Po prawej stronie dodajemy do siebie liczby całkowite, natomiast nie możemy do nich dodać pierwiastka:

\(-4\sqrt{7}x=24 – \sqrt{3}\)

Teraz, jak zwykle, dzielę przez to, co stoi przy \(x\)-ie, czyli przez \(-4\sqrt{7}\):

\(x=\large\frac{24 – \sqrt{3}}{-4\sqrt{7}}\)

Jak widzisz, do tej pory schemat rozwiązania był dokładnie taki sam, jak przy tradycyjnym równaniu, pomimo plączących się pierwiastków. Sprawa się komplikuje, gdy przy \(x\)-ie stoją i pierwiastki, i liczby całkowite, jak tutaj:

\(2\sqrt{3}x+5=7+x\)

Najpierw robię tak jak zwykle, czyli \(x\)-y przerzucam na jedną stronę, a liczby na drugą:

\(2\sqrt{3}x-x=7-5\)

Po prawej stronie możemy wykonać odejmowanie, natomiast po lewej już nie, bo mamy i liczbę całkowitą, i pierwiastek. W takiej sytuacji wyłączam \(x\) przed nawias:

\(x(2\sqrt{3}-1)=2\)

Następnie dzielę przez to, co stoi przy \(x\)-ie, czyli przez \(2\sqrt{3}-1\):

\(x=\large\frac{2}{2\sqrt{3}-1}\)

______________________________________________

Nie wytłumaczyłam wszystkiego tak szczegółowo, jak bym chciała i nie podałam tak dużo przyładów, jak bym chciała – wynika to z tego, że ten post byłby wtedy nieprzyzwoicie długi. Dlatego jeśli cokolwiek jest dla Ciebie niezrozumiałe, pytaj w komentarzu 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!