Równania kwadratowe Równania liniowe

Rozwiązywanie równań w postaci iloczynowej

Równanie w postaci iloczynowej to takie równanie, w którym po jednej stronie mamy zero, a po drugiej stronie iloczyn dwóch lub więcej czynników. Schemat rozwiązywania takich równań jest bardzo prosty 🙂

Powiedzmy, że mamy takie równanie: \((x+2)(2x-8)(3x+6)=0\).

Aby je rozwiązać, wystarczy, że każdy czynnik iloczynu przyrównamy do zera. Powstaną nam wtedy osobne równania, które należy rozwiązać.

Pierwszym czynnikiem jest \(x+2\). Przyrównuję go do zera:

\(x+2=0\)

Otrzymałam równanie, które rozwiązuję:

\(x=-2\)

O rozwiązywaniu równań możesz poczytać tutaj.

To co otrzymaliśmy, czyli \(-2\), to pierwsze rozwiązanie naszego równania. Teraz postępuję dokładnie tak samo z pozostałymi czynnikami.

\(2x-8=0\)

\(2x=8\)

\(x=4\)

Mamy drugie rozwiązanie: \(4\). Teraz trzeci czynnik:

\(3x+6=0\)

\(3x=-6\)

\(x=-2\)

Zauważ, że w trzecim równaniu otrzymaliśmy takie samo rozwiązanie, jak w pierwszym. Dlatego podsumowując, równanie ma dwa rozwiązania: \(-2\) oraz \(4\). Możemy to zapisać w taki sposób: \(x\in\lbrace-2;4\rbrace\). Rozwiązania wypisujemy w klamerkach, oddzielając je przecinkami lub średnikami (te drugie są bezpieczniejsze, bo wtedy wiadomo, że to dwie liczby, a nie jedna liczba z przecinkiem).

Potocznie mówi się, że rozwiązując takie równania przyrównujemy nawiasy do zera. Pamiętajmy jednak, że czynniki iloczynu nie muszą być w nawiasach. Widać to na tym przykładzie:

\(3x^2(2x+3)(x-4)=0\)

W tym iloczynie mamy trzy czynniki, z których jeden nie jest w nawiasie. Są to: \(3x^2\), \(2x+3\) oraz \(x-4\). Każdy z nich przyrównujemy do zera:

\(3x^2=0\)

\(x^2=0\)

\(x=0\)

To jest nasze pierwsze rozwiązanie. Teraz drugi czynnik:

\(2x+3=0\)

\(2x=-3\)

\(x=-\large\frac{3}{2}\)

Mamy drugie rozwiązanie. Teraz ostatnie:

\(x-4=0\)

\(x=4\)

Żadne z rozwiązań się nie powtarza, a więc ostatecznie mamy trzy rozwiązania. Zapisujemy je w taki sposób: \(x\in\lbrace-\large\frac{3}{2};0;4\rbrace\).

Równania, które do tej pory rozwiązywaliśmy, były głównie liniowe (czyli przy \(x\)-ie nie stała żadna potęga). Może się jednak zdarzyć tak, że trafią nam się równania wyższych stopni, jak w tym przykładzie:

\((x-1)(x^2+3x+1)(x^3-8)=0\)

W takim wypadku mamy do rozwiązania trzy równania, z czego dwa mają \(x\) w wyższych potęgach:

\(x-1=0\)

\(x^2+3x+1=0\)

\(x^3-8=0\)

Takie równania rozwiązujemy już inaczej. O tym, jak do nich podejść, opowiem innym razem 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!