Nierówności liniowe Równania liniowe

Sprawdzanie, czy liczba spełnia równanie/nierówność

Domyślam się, że znasz mechanizm pozwalający sprawdzić, czy jakaś liczba spełnia równanie albo nierówność. Wiele osób jednak wykonuje dobrze pierwszy krok, a potem ginie w rachunkach. Dlatego dzisiaj to poćwiczymy 🙂

Zacznijmy od równań. Tego typu zadania najczęściej są zamknięte i mają mniej więcej taką treść: „Równanie jakieśtam jest spełnione dla …..”, albo „Równanie jekieśtam jest prawdziwe dla …” + cztery odpowiedzi do wyboru. W takiej sytuacji najprostszą i wymagającą najmniej myślenia metodą jest podstawianie po kolei odpowiedzi i patrzenie, co nam wychodzi. Jeśli wyjdzie nam coś, co ewidentnie jest nieprawdą (na przykład \(4=-1\) albo \(3=0\)) to znaczy, że ta liczba nie spełnia równania. Jeśli natomiast po obu stronach wyjdzie nam to samo (czyli na przykład \(3=3\) albo \(-1=-1)\), to znaczy, że dla tej liczby równanie jest prawdziwe.

Weźmy na przykład takie równanie: \(x^2 +3(x-1)=5x\). Sprawdźmy, czy równanie jest spełnione dla \(x=2\). Aby to zrobić, po prostu w miejsce \(x\)-a wstawiamy dwójkę:

\(2^2+3(2-1)=5\cdot 2\)

Porządkujemy to wyrażenie, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

\(4+3\cdot 1 = 10\)

\(7=10\)

Wyszła nam oczywista bzdura – to znaczy, że liczba nie spełnia równania.

Weźmy teraz równanie \(-x^2+x^4-x^3+3=4\) Sprawdźmy, czy jest ono prawdziwe dla liczby \(-1\). Tutaj ważna uwaga: jeśli sprawdzamy równanie dla liczby ujemnej albo składającej się z więcej niż jednego czynnika (na przykład \(2+\sqrt{5}\)) to podstawiając tę liczbę bierzemy ją w nawiasy.

\(-(-1)^2+(-1)^4-(-1)^3+3=4\)

Porządkujemy równanie. Pamiętamy przy tym, że najpierw wykonujemy potęgowanie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie:

\(-1+1-(-1)+3=4\)

\(-1+1+1+3=4\)

\(4=4\)

Po obu stronach wyszło nam to samo, więc równianie jest prawdziwe dla liczby \(-1\).

Przy nierówności sytuacja jest podobna. Podstawiamy w miejsce niewiadomej liczbę, którą chcemy sprawdzić i porządkujemy nierówność tak, by po jednej i po drugiej stronie została jedna liczba. Jeśli to, co nam wyszło, jest prawdą (na przykład \(3 \leq 5\)) to znaczy, że liczba spełnia nierówność. Natomiast jeśli wyjdzie nam nieprawda (na przykład \(8>10\)), to liczba nie spełnia równania. Przećwiczmy to na przykładzie.

Sprawdźmy, czy liczba \(2\sqrt{3}\) spełnia następującą nierówność: \(3m^2+m^3-m>-1\). Podstawiam liczbę w miejsce niewiadomej. Liczba składa się z więcej niż jednego czynnika, zatem używam nawiasów:

\(3\cdot(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^3-(2\sqrt{3})>-1\)

Być może słusznie zauważyłeś, że w tym miejscu, gdzie \(m\) było bez potęgi, nawiasy nie były potrzebne. I tak, osoba, która z rachunkami radzi sobie dobrze nie musi tych nawiasów wstawiać wszędzie. Wiem jednak, że jest wiele osób, które w rachunkach się gubią i potrzebują prostych zasad, które pomogą im się w tym odnaleźć – i używanie nawiasów tam, gdzie podstawiamy liczbę ujemną albo składającą się z więcej niż jednego czynnika jest taką prostą zasadą.

Teraz porządkuję nierówność. Najpierw wykonuję potęgowanie, potem mnożenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie:

\(3\cdot4\cdot 3+8\cdot 3\sqrt{3}-2\sqrt{3}>-1\)

\(36+24\sqrt{3}-2\sqrt{3}>-1\)

\(36+22\sqrt{3}>-1\)

Możemy stwierdzić, że ta nierówność jest prawdziwa, bo liczba po lewej stronie jest większa od tej po prawej.

Pamiętaj o tym, by uważnie czytać polecenia. Może na przykład trafić Ci się pytanie, która z podanych liczb nie spełnia równania – wtedy poprawna jest ta odpowiedź, gdzie wyjdzie nam nieprawda.

Spróbuj wymyślić sobie kilka przykładów z dużą liczbą potęg i minusów i posprawdzać różne liczby 🙂 Ta umiejętność przyda nam się dalej przy funkcjach, a konkretnie przy sprawdzaniu, czy dany punkt należy do funkcji.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!