Statystyka

Średnia arytmetyczna

Możliwe, że zastanawiasz się teraz, dlaczego robię wpis na tak banalny temat – chyba każdy umie policzyć średnią, w końcu robimy to kompulsywnie przed końcem każdego semestru i kalkulujemy, ile plakatów jeszcze trzeba przygotować, by nauczyciel zgodził się podciągnąć ocenę.

Pamiętaj jednak, że zadanie ze średnią raczej nie będzie po prostu polegało na tym, żeby obliczyć średnią kilku liczb. Może się tam pojawić niewiadoma, czasem kilka niewiadomych, może też być tak, że zestaw liczb, których średnią masz obliczyć, musisz wyłuskać z tabeli czy diagramu. Dlatego oprócz tego, że dla porządku wytłumaczę, jak liczy się średnią, pokażę Ci różne typy zadań, które mogą Cię spotkać.

Średnia arytmetyczna \(n\) liczb \(a_1, a_2, a_3, … , a_n\) jest równa:

\(\bar{a} = \large \frac{a_1+a_2+a_3+…+a_n}{n}\)

Czyli jeśli zważono pięć kotów i otrzymano następujące wyniki: \(3,5\)kg, \(4,2\)kg, \(5,6\)kg, \(8,2\)kg oraz \(4,5\)kg, to średnia masa kota dla tego zbioru wynosi:

\(\bar{m}=\large\frac{3,5+4,2+5,6+8,2+4,5}{5}=\frac{26}{5}=5,2\)

Gdy mamy po prostu wypisane liczby i musimy obliczyć ich średnią, to nie jest to trudne. Oczko trudniejsza jest taka sytuacja:

Wśród zważonych kotów cztery z nich miały masę \(4,3\)kg, pięć ważyło \(6,4\)kg, a trzy ważyły \(3,5\)kg. Jaka była średnia masa kota?

Dodając w liczniku masy kotów musimy uwzględnić fakt, że wyniki się powtarzały. Możemy średnią obliczyć w taki sposób:

\(\bar{m} = \large \frac{4,3+4,3+4,3+4,3+6,4+6,4+6,4+6,4+6,4+3,5+3,5+3,5}{4+5+3}\),

ale dużo prościej będzie to zapisać po prostu tak:

\(\bar{m} = \large\frac{4,3\cdot 4+6,4\cdot 5+3,5\cdot 3}{4+5+3}=\frac{17,2+32+10,5}{12}=\frac{59,7}{12}=4,975\)

I tu przejdźmy do tabel i diagramów. W nich nie mamy liczb wypisanych po przecinku – są one pogrupowane i trzeba umieć się w tym odnaleźć. Powiedzmy, że mamy w tabeli przedstawiony wzrost uczestników kursu szydełkowania i mamy obliczyć średni wzrost uczestnika.

Wzrost [cm]160161162163164165166
Liczba uczestników4121813212832

Z tabeli możemy odczytać, że czterech uczestników miało \(160\)cm, dwunastu miało \(161\)cm, itd.

Ponieważ mamy obliczyć średni wzrost uczestników, to właśnie wzrost będziemy wpisywać do licznika. Zgodnie ze wzorem powinniśmy dodać wszystkie wyniki pomiaru wzrostu i tę sumę podzielić przez liczbę mierzonych osób. Liczbę uczestników możemy łatwo obliczyć. Jest ona równa \(4+12+18+13+21+28+32=128\). Natomiast jeśli chodzi o sumę wszystkich wyników pomiaru wzrostu, to zgodnie ze wzorem powinniśmy ją obliczyć tak: \(160+160+160+160+161+161+161+…\) i tak dodawać do siebie wesoło wzrost każdej ze stu dwudziestu ośmiu osób. Ponieważ jednak nie mamy całego dnia, dużo szybciej będzie, jeśli policzymy to w taki sposób: \(160\cdot 4+ 161\cdot 12+ 162\cdot 18 + 163 \cdot 13+ 164 \cdot 21 + 165 \cdot 28 + 166 \cdot 32\) – czyli zamiast na przykład dodawać do siebie \(162\)cm \(18\) razy, po prostu piszemy \(162\cdot 18\).

Zatem średni wzrost policzymy następująco:

\(\bar{h}=\large\frac{160\cdot 4+ 161\cdot 12+ 162\cdot 18 + 163 \cdot 13+ 164 \cdot 21 + 165 \cdot 28 + 166 \cdot 32}{4+12+18+13+21+28+32}=\)

\(\large=\frac{640+1932+2916+2119+3444+4620+5312}{128}=\frac{20 983}{128}\approx 163,9\)

Do tej pory mieliśmy za zadanie obliczyć średnią. Może nam się jednak trafić zadanie, w którym mamy podaną średnią, a nie mamy części danych na tę średnią się składających. Klasyczne maturalne zadanie na średnią wygląda mniej więcej tak:

Średnia arytmetyczna zbioru liczb \(2, 8, 15, 31, 6, x, 12\) wynosi \(11\). Oblicz \(x\). W takiej sytuacji układamy równanie, korzystając ze wzroru na średnią:

\(11=\large\frac{2+8+15+31+6+x+12}{7}\)

W mianowniku wpisałam liczbę liczb (nie dało się tego napisać lepiej, próbowałam) w zbiorze, zaś w liczniku – sumę tych liczb. Po lewej stronie natomiast wpisałam wynik tego działania, czyli średnią. Jeśli czytałeś post o równaniach, to pamiętasz, że pierwsze, co chcemy zrobić, to pozbyć się ułamka. Robimy to, mnożąc obustronnie równanie przez mianownik, czyli w naszym wypadku przez \(7\):

\(11\cdot 7=\large\frac{2+8+15+31+6+x+12}{7}\cdot 7\)

Dzięki temu ułamek nam się skróci:

\(11\cdot 7=\large\frac{2+8+15+31+6+x+12}{\cancel{7}^1}\cdot \cancel{7}^1\)

\(11\cdot 7=2+8+15+31+6+x+12\)

Wykonujemy mnożenie po lewej stronie i dodawanie po prawej:

\(77=74+x\)

Przerzucamy \(74\) na drugą stronę:

\(77-74=x\)

\(3=x\)

Podobne, ale nieco trudniejsze zadanie, może wyglądać tak:

Jaś ma cztery zeszyty o szerokości \(16\)cm, sześć zeszytów o szerokości \(12 \)cm oraz \(k\) zeszytów o szerokości \(20\)cm. Średnia szerokość zeszytu to \(16,8\)cm. Ile Jaś ma zeszytów?

Ponownie będziemy korzystać ze wzoru na średnią. Wszystkich zeszytów łącznie jest \(4+6+k\), natomiast suma wszystkich pomiarów zeszytów to \(16\cdot 4 + 12\cdot 6 + 20 \cdot k\). Wstawiamy to do wzoru:

\(16,8=\large\frac{16\cdot 4 + 12\cdot 6 + 20 \cdot k}{4+6+k}\)

Uporządkuję trochę to równanie:

\(16,8=\large\frac{64 + 72 + 20k}{10+k}\)

\(16,8 =\large\frac{136 + 20k}{10+k}\)

Teraz pozbędę się ułamka, mnożąc obustronnie przez mianownik, czyli przez \(10+k\) (pamiętajmy o nawiasach!):

\(16,8\cdot (10+k)=\large\frac{136 + 20k}{10+k}\cdot (10+k)\)

Skracamy:

\(16,8\cdot (10+k)=\large\frac{136 + 20k}{\cancel{10+k}^1}\cdot \cancel{(10+k)}^1\)

\(16,8\cdot (10+4)=136 + 20k\)

Teraz wykonuję mnożenie po lewej stronie:

\(16,8\cdot 10+16,8 \cdot k=136 + 20k\)

\(168+16,8k=136 + 20k\)

Przerzucam \(k\) na lewą stronę, a liczby na prawą:

\(16,8k-20k=136-168\)

\(-3,2k = -32 \)

Dzielę obustronnie przez to, co stoi przy \(k\), czyli \(-3,2\):

\(k = \large\frac{-32}{-3,2} \)

\(k=10\)

Nie jest to jeszcze koniec zadania, bo pytanie brzmiało – ile zeszytów ma Jaś? A ma ich \(4+6+k\), czyli \(20\).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!