Pierwiastki

Usuwanie niewymierności z mianownika

Na początku chciałabym zaznaczyć jedną rzecz: usuwanie niewymierności (czyli pierwiastka) z mianownika najprawdopodobniej nie przyda Ci się do rozwiązania zadania (no chyba że zadanie będzie brzmiało „usuń niewymierność z mianownika”). Może się natomiast zdarzyć tak, że Twoje rozwiązanie jest inne, niż te w odpowiedziach – w tym momencie usunięcie niewymierności z mianownika bardzo często załatwia sprawę 🙂 A z takich bardziej prozaicznych spraw – duża część nauczycieli wymaga, by wynik nie miał pierwiastka w mianowniku. Warto więc opanować tę umiejętność.

Jeśli w mianowniku mamy po prostu pierwiastek, to schemat postępowania jest łatwy do ogarnięcia. Weźmy na przykład taką liczbę: \(\large\frac{3}{\sqrt{2}}\). Aby usunąć pierwiastek z mianownika, mnożymy tę liczbę przez \(\large\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) – czyli po prostu przez \(1\):

\(\large\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

Dlaczego tak zrobiliśmy? Aby to zobaczyć, zamienię sobie teraz iloczyn tych dwóch ułamków w jeden ułamek:

\(\large\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\)

Na górze mamy \(3\cdot \sqrt{2}\). Znak mnożenia możemy pominąć, poza tym nic więcej nie zrobimy. Natomiast na dole mamy \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\), czyli \(\sqrt{2}^2\). Jak zapewne pamiętasz, jest to po prostu \(2\) (możesz poczytać na ten temat tutaj). Wstawiam to do naszego wyrażenia:

\(\large=\frac{3\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Tym sposobem pozbyliśmy się pierwiastka z mianownika. Jest to cały czas taka sama liczba, jak na początku, tylko zapisana w innej formie.

Weźmy teraz \(\large\frac{5}{2\sqrt{5}}\). Aby usunąć pierwiastek z mianownika, mnożymy ułamek przez \(\large\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) (bierzemy sam pierwiastek, a nie cały mianownik):

\(\large\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)

Wymnażamy przez siebie ułamki:

\(\large\frac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}^2}\)

Korzystam teraz z faktu, że \(\sqrt{5}^2=5\):

\(\large\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2\cdot 5}\)

Mogę sobie poskracać:

\(\large\frac{5\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{\cancel{5}^1\sqrt{5}}{2\cdot \cancel{5}^1}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

W ten sposób pozbyliśmy się pierwiastka z mianownika.

Może się zdarzyć taka sytuacja, że pierwiastek będzie i w liczniku, i w mianowniku – co wtedy? Jeśli chcemy usunąć niewymierność z mianownika, to domnażamy ten pierwiastek, który jest w mianowniku – tak jak tutaj:

\(\large\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{11}}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{77}}{\sqrt{11}^2}=\frac{\sqrt{77}}{11}\)

A co, jeśli w mianowniku mamy pierwiastek trzeciego stopnia? Wtedy ułamek z pierwiastkami musimu domnożyć dwa razy. Dlaczego? Ponieważ aby pozbyć się pierwiastka trzeciego stopnia, musimy go podnieść do trzeciej potęgi (a nie do drugiej, jak w poprzednich przykładach). Weźmy na przykład \(\large\frac{3}{\sqrt[3]{3}}\). Dwa razy domnożymy ułamek \(\large\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}\):

\(\large\frac{3}{\sqrt[3]{3}}=\frac{3}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}\)

Dzięki temu na dole otrzymamy \(\sqrt[3]{3}^3\), a to jest równe \(3\):

\(\large\frac{3}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}=\frac{3\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}^3}=\frac{3\sqrt[3]{9}}{3}\)

Możemy poskracać:

\(\large\frac{3\sqrt[3]{9}}{3}=\frac{\cancel{3}^1\sqrt[3]{9}}{\cancel{3}^1}=\frac{\sqrt[3]{9}}{1}\)=\(\sqrt[3]{9}\)

Jeszcze raz powtórzę – to, co tu robimy, najpewniej nie pomoże Ci rozwiązać zadania. Pomoże Ci, gdy Twoje rozwiązanie jest inne, niż w odpowiedziach. Wtedy możesz przekształcić swoje rozwiązanie do innej formy właśnie wyciągając pierwiastek z mianownika.

Na dziś to wszystko 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!