Funkcja liniowa

Własności funkcji liniowej

Dzisiejszy wpis będzie krótki – czego możemy się dowiedzieć ze wzoru i wykresu funkcji liniowej.

Funkcja liniowa jest następującej postaci: \(f(x)=ax+b\). Może być też zapisana tak: \(y=ax+b\). Współczynnik \(a\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym funkcji, natomiast \(b\) – wyrazem wolnym. Na przykład w funkcji \(f(x)=3x-2\) współczynnik \(a=3\), natomiast \(b=-2\). Z kolei w funkcji \(f(x)=-2x+4\) współczynnik \(a=-2\), natomiast współczynnik \(b = 4\). Z tych dwóch liczb możemy się nieco dowiedzieć o wyglądzie funkcji. Pokażę to na przykładzie tych dwóch wzorów.

Współczynnik kierunkowy mówi nam o tym, jak układa się prosta, czy raczej w którym kierunku (dlatego właśnie nazywamy go współczynnikiem kierunkowym). To co na ten moment jest dla nas ważne to to, że jeśli współczynnik kierunkowy jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, natomiast jeśli jest ujemny, to funkcja jest malejąca. Zobaczmy to na przykładach:

Weźmy funkcję \(f(x)=3x-2\). Aby narysować wykres tej funkcji zrobimy sobie tabelkę. Wybieramy takie wartości \(x\), przy których za bardzo się nie naliczymy, czyli na przykład \(0\) i \(1\) (do narysowania wykresu funkcji liniowej wystarczą dwa punkty). Podstawiam wybrane wartości do wzoru i w ten sposób uzyskuję współrzędną \(y\)-ową. Dla \(x\) równego \(0\) \(y=3\cdot 0 – 2 = 0-2=-2\), natomiast dla \(x\) równego \(1\) \(y=3\cdot 1-2=3-2=1\). Wpisuję te wartości do tabeli.

x01
y-21

W ten sposób otrzymaliśmy dwa punkty. Pierwszy to \((0,-2)\), a drugi: \((1,1)\). Zaznaczam te punkty na wykresie i łączę je:

Jak widzisz, funkcja jest rosnąca (widzimy to po tym, że idzie „do góry”, patrząc od lewej strony do prawej). Nie musieliśmy jednak rysować wykresu, żeby się o tym dowiedzieć – wystarczy spojrzeć na współczynnik kierunkowy – u nas jest równy \(3\), a więc jest dodatni. Stąd wiemy, że funkcja jest rosnąca.

Teraz narysujmy wykres takiej funkcji: \(f(x)=-2x+4\). Najpierw robię tabelkę.

x01
y42

Widać z wykresu, że funkcja jest malejąca (idzie „do dołu”, patrząc od lewej strony do prawej). Widać to również ze wzoru – współczynnik \(a\) jest równy \(-2\), a więc jest ujemny.

Jeśli chodzi o współczynnik \(b\), to on nam mówi, w którym miejscu funkcja przecina oś \(Oy\). Ten punkt przecięcia to \((0; b)\). Czyli dla pierwszej funkcji (\(f(x)=3x-2\)) punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0; -2)\), bo \(b=-2\), natomiast dla drugiej \((f(x)=-2x+4)\) ten punkt to \((0;4)\), bo \(b=4\). Możesz to zobaczyć na rysunkach. Jeśli funkcja liniowa nie ma wyrazu wolnego (na przykład \(f(x)=-4x\)), to jej wykres przechodzi przez punkt \((0;0)\) – jest to jednocześnie punkt przecięcia osi \(Oy\) oraz miejsce zerowe funkcji.

Funkcja liniowa ma jeszcze jeden charakterystyczny punkt – właśnie miejsce zerowe. Jest to punkt, w którym prosta przecina oś \(Ox\). Aby go wyznaczyć, musimy wziąć wzór funkcji i w miejsce \(f(x)\) (albo \(y\)) wstawić \(0\). Otrzymamy wtedy równanie do rozwiązania. Weźmy naszą pierwszą funkcję \(f(x)=3x-2\). W miejsce \(f(x)\) wstawiam \(0\):

\(0=3x-2\)

Rozwiązuję równanie:

\(-3x=-2\)

\(x=\large\frac{-2}{-3}\)

\(x=\large\frac{2}{3}\)

Wynik, który otrzymaliśmy, to właśnie miejsce zerowe. Współczędne punktu przecięcia tej funkcji z osią \(Ox\) to \((\large\frac{2}{3};0)\). To również możesz zobaczyć na rysunku.

Teraz druga funkcja: \(f(x)=-2x+4\). Wstawiam \(0\) w miejsce \(f(x)\) i rozwiązuję:

\(0=-2x+4\)

\(2x=4\)

\(x=2\)

\(2\) jest miejscem zerowym tej funkcji i na wykresie możesz zobaczyć, że faktycznie prosta przecina oś \(x\)-ów w punkcie \((2;0)\).

Ta metoda wyznaczania miejsca zerowego odnosi się nie tylko do funkcji liniowej, ale do każdej funkcji – zawsze w miejsce \(f(x)\) wstawiamy \(0\) i otrzymujemy w ten sposób równianie, z którego wyznaczamy \(x\).

Na dziś to tyle – nie rozpisywałam się jakoś bardzo, bo o funkcji liniowej będą jeszcze dwa wpisy, dodatko będzie też kilka ogólnie o funkcjach 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!