Pierwiastki

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Z pierwiastkami sprawa pozornie jest prosta. Jest to po prostu odwrotność potęgowania. Definicja pierwiastka jest następująca:

Jeśli \(x^a = y\), to \(\sqrt[a]{y}=x\).

A po ludzku:

  • \(\sqrt[2]{25}=5\), bo \(5^2 = 25\)
  • \(\sqrt[3]{27}=3\), bo \(3^3 = 27\)
  • \(\sqrt[4]{16}=2\), bo \(2^4 = 16\)

To są małe liczby, więc łatwo możemy znaleźć ich pierwiastki. Co jednak, gdy mamy do wyciągnięcia pierwiastek z dużej liczby? Tak, ja wiem, że kalkulatory istnieją. I to prawda, jeśli mamy do obliczenia na przykład \(\sqrt{324}\), to wpisujemy go w kalkulator i nam wychodzi, że to \(18\). Pamiętaj jednak, że na maturze możesz mieć kalkulator prosty, a więc taki, który ma cztery podstawowe działania, procenty i pierwiastki drugiego stopnia. Tak więc \(\sqrt{324}\) obliczysz, ale \(\sqrt[3]{324}\) już nie. Poza tym kalkulator nie będzie pomocny w sytuacji, gdy z liczby nie ma całkowitego pierwiastka. Na przykład gdy każemy kalkulatorowi obliczyć \(\sqrt{18}\), to poda nam taki wynik: 4,2426406871… Nie jest to najlepsza opcja, gdy chcemy coś z tym dalej robić. Nie mówiąc już o tym, że przed maturą czeka Cię sporo klasówek, na których często nauczyciel z kalkulatora nie pozwala korzystać.

Aby ułatwić sobie życie, możemy zastosować metodę rozkładu na czynniki pierwsze (potocznie zwaną drzewkiem). Jeśli jej nie znasz, to pokażę Ci krok po kroku, jak się z niej korzysta.

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć \(\sqrt{12}\). Kalkulator pokazuje nam, że pierwiastka całkowitego z tego nie ma i musimy poradzić sobie sami. Zapisujemy więc tę liczbę na kartce po lewej stronie, a obok niej rysujemy pionową kreskę.

Następnie zastanawiamy się, przez jaką, możliwie najmniejszą liczbę możemy ją podzielić (najczęściej będzie to \(2\) lub \(3\)). Gdy już zdecydujemy, przez jaką liczbę będziemy dzielić, zapisujemy ją po prawej stronie. Ja najpierw podzielę \(12\) przez \(2\).

\(12\) podzielić przez \(2\) równa się \(6\) – zapisuję tę liczbę po lewej stronie.

Teraz będziemy dzielić liczbę \(6\). Ją również podzielę przez \(2\), więc zapisuję dwójkę po prawej stronie.

\(6\) podzielić przez \(2\) równa się \(3\) – zapisuję trójkę po lewej stronie.

Trójki nie da się już podzielić przez dwa, więc będę dzielić ją przez trzy – zapisuję \(3\) po prawej stronie.

\(3\) podzielić przez \(3\) równa się \(1\) – zapisuję jedynkę po lewej stronie.

Rozkładanie kończy się wtedy, gdy po lewej stronie pojawi się jedynka. Teraz patrzymy na liczby po prawej stronie i sprawdzamy, czy jakieś się powtarzają. Ponieważ chcemy wyznaczyć pierwiastek drugiego stopnia, będziemy szukać par. Jeśli znajdziemy dwie takie same liczby, łączymy je.

I teraz tak: to, co nam się połączyło (czyli dwójki), wyciągamy przed pierwiastek (wyciągamy jedną dwójkę, bo mamy jedną parę dwójek), natomiast to, co się nie połączyło, zostaje pod pierwiastkiem (czyli trójka). A więc \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Teraz wyznaczymy sobie \(\sqrt{108}\). Zapisuję liczbę \(108\) po lewej stronie, rysuję kreskę, a następnie dzielę – najpierw przez \(2\), a gdy już nie jest to możliwe, to przez \(3\).

Jak widzisz, połączyłam liczby w pary, tak jak poprzednio (bo znowu mamy do wyznaczenia pierwiastek drugiego stopnia). Wyłączam przed pierwiastek to, co się połączyło (czyli \(2\) i \(3\)), stawiając między nimi znak mnożenia, natomiast to, co się nie połączyło (czyli \(3\)), zostawiam pod pierwiastkiem. Stąd \(\sqrt{108}=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).

Teraz wyznaczymy pierwiastek trzeciego stopnia. Weźmy na przykład \(\sqrt[3]{384}\). Tak jak poprzednio, rozkładam liczbę na czynniki. Tym razem jednak będę łączyć liczby w trójki (bo to pierwiastek trzeciego stopnia).

Podobnie jak poprzednio, to, co się połączyło (czyli dwie dwójki) wystawiamy przed pierwiastek, łącząc je znakiem mnożenia, natomiast to, co się nie połączyło (czyli \(2\) i \(3\)), zostawiam pod pierwiastkiem (również łącząc je znakiem mnożenia). Stąd \(\sqrt[3]{384}=2\cdot2\sqrt[3]{2\cdot3}=4\sqrt[3]{6}\).

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których część liczb połączyła nam się w pary/trójki, a część nie. A co jeśli wszystkie nam się połączą? Albo jeśli nie połączy się nic?

Spróbujemy teraz rozpracować \(\sqrt[3]{216}\). Rozłóżmy liczbę \(216\) na czynniki.

Jak widzisz, wszystkie liczby połączyły nam się w trójki (znowu – pierwiastek trzeciego stopnia). Co teraz? Zasada jest ta sama – z pierwiastka wyciągamy to, co się połączyło, a pod pierwiastkiem zostawiamy to, co się nie połączyło – czyli w naszym wypadku nic. Zatem \(\sqrt[3]{216}=2\cdot3=6\).

Następny przykład to \(\sqrt[3]{90}\). Rozkład na czynniki wygląda następująco:

Możesz zobaczyć, że nic nam się nie połączyło (co prawda jest jedna para, ale my potrzebujemy trójek). Dlatego wszystko zostaje pod pierwiastkiem. \(\sqrt[3]{90}\) to po prostu \(\sqrt[3]{90}\) i nic z tym nie zrobimy.

W ten sposób możemy zajmować się również pierwiastkami wyższych stopni – należy tylko pamiętać, by wtedy je odpowiednio łączyć – gdy mamy pierwiastek czwartego stopnia, to w czwórki, gdy piątego – w piątki, itd.

Rozkładanie na czynniki przydaje się wszędzie tam, gdzie mamy działania na pierwiastkach, które są jakieś takie bez sensu i nie wiadomo, co z nimi zrobić. Bardzo często po wyciągnięciu czynnika przed pierwiastek problem sam się rozwiązuje.

Gdy na przykład chcemy wykonać działanie \(\sqrt{20}+\sqrt{45}\), to pozornie wydaje się, że nie bardzo da się tu cokolwiek zrobić. Jeśli jednak wyłączymy czynnik przed pierwiastek, to okaże się, że \(\sqrt{20}\) jest równy \(2\sqrt{5}\), a \(\sqrt{45}\) to \(3\sqrt{5}\), więc dodanie ich do siebie staje się proste: \(\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) (o działaniach na pierwiastkach możesz poczytać tutaj)

Oprócz tego wchodzą tu po prostu kwestie „estetyczne” – tak jak zostawiamy ułamki w nieskracalnej formie, tak samo zostawiamy pierwiastek z wyciągniętym przed niego czynnikiem, jeśli to możliwe.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!