Trygonometria

Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych – część 1

Funkcje trygonometryczne to takie funkcje, które wyrażają związek między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym – jeśli znamy boki trójkąta, to te funkcje pozwalają nam wyznaczyć jego kąty. Są one bardzo przydatne w zagadnieniach związanych z geometrią, choć na poziomie podstawowym nie ma niestety za dużo okazji, by tego doświadczyć.

Mamy takich funkcji sześć, ale w szkole uczycie się o trzech. Są to sinus, cosinus i tangens. Oznaczamy je jako \(\sin\), \(\cos\) i \(\text{tg}\). Należy pamiętać, że wartości funkcji wyznaczamy zawsze dla jakiegoś kąta. Tak więc zapis np. \(\sin=0,4\) jest bez sensu – możemy zapisać, że \(\sin\alpha=0,4\), albo że \(\sin24^o=0,4\). Oczywiście kąt nie musi nazywać się \(\alpha\), równie dobrze może to być np. \(\beta\), \(\gamma\) czy \(x\).

Jak wyznaczyć wartości tych funkcji? Narysujmy sobie trójkąt prostokątny i nazwijmy jakoś kąty w tym trójkącie.

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć wartości funkcji dla kąta \(\alpha\). Nazywamy teraz odpowiednio boki trójkąta. Bok, który jest naprzeciwko kąta \(\alpha\), oznaczamy jako \(a\).

Drugą przyprostokątną oznaczamy jako \(b\).

Natomiast przeciwprostokątną oznaczamy jako \(c\).

Dla tak oznaczonych boków wzory dla kąta \(\alpha\) wyglądają następująco:

\(\sin\alpha=\large\frac{a}{c}\)
\(\cos\alpha=\large\frac{b}{c}\)
\(\text{tg }\alpha=\large\frac{a}{b}\)

Przećwiczmy sobie używanie tych wzorów. Niech dany będzie trójkąt prostokątny przedstawiony na rysunku. Wyznacz sinus kąta \(\alpha\) oraz tangens kąta \(\beta\).

Wykonajmy najpierw pierwszą część polecenia, czyli wyznaczmy sinus kąta \(\alpha\). Zaczynamy od tego, że nazywamy odpowiednio boki. Naprzeciwko kąta, który nas interesuje (czyli kąta \(\alpha\)), znajduje się bok \(a\). Druga przyprostokątna to bok \(b\), a przeciwprostokątna to bok \(c\).

Chcemy wyznaczyć \(\sin\alpha\). Wybieramy odpowiedni wzór i podstawiamy do niego długości boków:

\(\sin\alpha=\large\frac{a}{c}\)

\(\sin\alpha=\large\frac{5}{13}\)

Następnie wykonamy drugą część zadania, czyli wyznaczymy tangens kąta \(\beta\). Zwróć uwagę, że teraz wyznaczamy wartość funkcji dla innego kąta, a to oznacza, że musimy od nowa ponazywać sobie boki. Naprzeciwko kąta, który nas interesuje (czyli tym razem kąta \(\beta\)), znajduje się bok \(a\). Druga przyprostokątna to bok \(b\). Przeciwprostokątna, czyli bok \(c\), zostaje bez zmian. Stare oznaczenia możemy po prostu skreślić.

Teraz wybieramy odpowiedni wzór. Chcemy wyznaczyć \(\text{tg}\beta\), więc wybieramy wzór na tangens. Następnie podstawiamy do niego liczby.

\(\text{tg }\beta=\large\frac{a}{b}\)

\(\text{tg }\beta=\large\frac{12}{5}\)

Jak widzisz, stosowanie tych wzorów nie jest zbyt skomplikowane, należy tylko pamiętać o tym, by odpowiednio oznaczyć boki.

Teraz zróbmy takie zadanie:

Dany jest trójkąt przedstawiony na rysunku. Wyznacz cosinus kąta \(x\).

Zaczynamy od odpowiedniego oznaczenia boków. Chcemy wyznaczyć wartość cosinusa dla kąta \(x\), a więc naprzeciwko tego kąta zaznaczamy bok \(a\). Druga przyprostokątna to bok \(b\), natomiast przeciwprostokątna to bok \(c\).

Teraz szukamy wzoru na cosinusa.

\(\cos x=\large\frac{b}{c}\)

Jak widzisz, nie możemy podstawić liczb do wzoru, bo nie mamy długości \(b\). Możemy ją jednak obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

\(a^2+b^2=c^2\)

\(3^2+b^2=5^2\)

\(9+b^2=25\)

\(b^2=25-9\)

\(b^2=16\)

\(b=4\)

Teraz możemy już wyznaczyć cosinus:

\(\cos x=\large\frac{b}{c}\)

\(\cos x=\large\frac{4}{5}\)

Jeśli chodzi o wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie, to tyle na dziś. Zapraszam Cię do następnych części 🙂 A jeśli chcesz wiedzieć, po co w zasadzie jest ten cosinus, to zerknij tutaj.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!