Funkcje

Wyznaczanie wzoru funkcji

Wyznaczanie wzoru funkcji to klasyczne zadanie maturalne. Jest ono znacznie prostsze, niż się z pozoru wydaje 😉 Przejdźmy od razu do przykładów. Zaczniemy od najprostszego wariantu i stopniowo będziemy zwiększać trudność.

Dana jest funkcja \(f(x)=ax^2+2x-7\). Punkt \(K=(1,-2)\) należy do wykresu tej funkcji. Wyznacz jej wzór.

Na początek dwie uwagi.

Po pierwsze: polecenie brzmi „wyznacz wzór funkcji”, więc zastanówmy się, co to w ogóle znaczy – w końcu w poleceniu już jest wzór: \(f(x)=ax^2+2x-7\). Aby wzór był wzorem, muszą w nim występować \(x\) oraz \(y\) (lub \(f(x)\)) – i to są jedyne niewiadome, które powinny się w nim znaleźć. Czyli nasz wzór \(f(x)=ax^2+2x-7\) jeszcze nie jest gotowy – musimy poznać, jaką liczbą jest \(a\) i ją wstawić. Natomiast nie staramy się wyznaczyć \(x\)-a, bo on ma tam być (wyjątkiem jest funkcja stała, ale w tego typu zadaniach się z nią nie spotkasz).

Po drugie: do wyznaczenia wzoru potrzebujemy tylu punktów, ile mamy niewiadomych we wzorze (są od tego wyjątki, ale one zostaną omówione w osobnym poście). Czyli jeśli mamy wzór \(f(x)=ax^2+2x-7\), to do wyznaczenia wzoru potrzebujemy jednego punktu, bo mamy jedną niewiadomą: \(a\) (jak mówiłam, \(x\)-a nie liczymy).

Potrzebujemy jednego punktu i mamy jeden punkt: \(K=(1,-2)\). Co z nim robimy?

Punkt ma dwie współrzędne: \(x\)-ową (u nas \(1\)) i \(y\)-ową (u nas \(-2\)). Punkt należy do wykresu tej funkcji, więc możemy podstawić do wzoru jego współrzędne. No dobra, tylko jak to zrobić, skoro we wzorze \(f(x)=ax^2+2x-7\) nie mamy \(y\)-a? Oznaczenia \(f(x)\) oraz \(y\) możemy stosować zamiennie, czyli nasz wzór możemy zapisać tak:

\(y=ax^2+2x-7\)

Podstawiamy \(1\) w miejsce \(x\)-a i \(-2\) w miejsce \(y\)-a.

\(-2=a\cdot 1^2+2\cdot 1-7\)

Otrzymaliśmy równanie, w którym niewiadomą jest \(a\). Chcemy ją wyznaczyć (o rozwiązywaniu równań możesz poczytać tu).

\(-2=a\cdot 1+2\cdot 1-7\)

\(-2=a+2-7\)

\(-2-2+7=a\)

\(3=a\)

Wyznaczyliśmy \(a\), teraz wstawiamy je do wzoru.

\(f(x)=3x^2+2x-7\)

Odpowiedź: Wzór tej funkcji to \(f(x)=3x^2+2x-7\)

Następne zadanie:

Dana jest funkcja \(f(x)=ax+b\) (patrz rysunek). Wyznacz jej wzór.

Najpierw patrzymy, ile jest niewiadomych we wzorze. Są dwie: \(a\) i \(b\) (nie liczymy \(x\)-a, bo jego nie będziemy wyznaczać). To znaczy, że potrzebujemy dwóch punktów, które dadzą nam dwa równania. Nie mamy żadnych punktów w treści zadania, ale możemy je odczytać z wykresu. Pierwszy punkt (nazwijmy go \(A\)) ma współrzędne \((0,2)\), a drugi (nazwijmy go \(B\)) ma współrzędne \((4,0)\).

Będziemy teraz te współrzędne podstawiać do wzoru funkcji. Żeby nam się nie myliło, tak jak poprzednio zamiast \(f(x)\) zapiszemy \(y\).

\(y=ax+b\)

Z tego samego powodu dobrze jest współrzędne punktu oznaczyć sobie malutkimi literami \(x\) i \(y\), żeby nie wstawić ich odwrotnie.

Pierwsze równanie:

\(A=(0^x,2^y)\)
\(y=ax+b\)
\(\underline{2=a\cdot 0+b}\)

Drugie równanie:

\(B=(4^x,0^y)\)
\(y=ax+b\)
\(\underline{0=a\cdot 4+b}\)

Mamy dwa równania, tworzymy więc układ równań.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2=a\cdot 0+b\\ 0=a\cdot 4+b \end{array} \right. \]

Wykonujemy mnożenie:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2=b\\ 0=4a+b \end{array} \right. \]

W pierwszym równaniu \(a\) nam znikło i mamy już \(b\), możemy je wstawić do drugiego równania:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2=b\\ 0=4a+2 \end{array} \right. \]

Rozwiązujemy drugie równanie:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2=b\\ -2=4a \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2=b\\ -\frac{2}{4}=a \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2=b\\ -\frac{1}{2}=a \end{array} \right. \]

Mamy już wyznaczone \(a\) i \(b\), wstawiamy je do wzoru \(f(x)=ax+b\).

Odpowiedź: \(f(x)=-\large\frac{1}{2}\)\(x+2\)

________________________________

W tych dwóch zadaniach mogłeś zobaczyć dwa sposoby podania współrzędnych punktu:

  • informacja, że „do wykresu funkcji należy punkt \(K=(1,-2)\)”,
  • punkt zaznaczony jest na wykresie (wtedy odczytujemy jego współrzędne).

Są to sposoby, z którymi większość osób dobrze sobie radzi. Niestety, nie są one jedyne. Współrzędne punktu mogą być podane również tak:

  • „wiadomo, że \(f(2)=4\)” – taki zapis oznacza, że \(x=2\), a \(f(x)\), czyli \(y=4\), czyli dostaliśmy punkt \((2,4)\);
  • „funkcja przyjmuje wartość \(6\) dla argumentu \(1\)” – argument to \(x\), a wartość funkcji to \(y\), czyli mamy punkt \((1,6)\);
  • „miejscem zerowym funkcji jest \(7\)” – miejsce zerowe to taki \(x\), dla którego \(y\) jest równy zero, a więc dostaliśmy punkt \((7,0)\);
  • „funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych” – czyli przez punkt \((0,0)\);
  • w przypadku funkcji kwadratowej możemy mieć w zadaniu informację, że „wierzchołek paraboli ma współrzędne \((-2,-3)\)” – to też jest punkt należący do wykresu;
  • oraz kilka innych, bardziej skomplikowanych, którymi póki co nie będziemy się zajmować 😉

Przećwiczmy wyznaczanie wzoru funkcji w zadaniach z tymi zapisami.

Funkcja \(f(x)=\large\frac{a}{x}\)\(+m-1\) (patrz rysunek) przyjmuje wartość \(4\) dla argumentu \(-2\). Wyznacz wzór tej funkcji.

Zaczynamy od tego, że sprawdzamy, ile mamy niewiadomych. Są dwie: \(a\) oraz \(m\) – czyli potrzebujemy dwóch punktów. Jeden z nich możemy odczytać z rysunku: \(A=(1,1)\). Drugi mamy zawarty w treści zadania: „przyjmuje wartość \(4\) dla argumentu \(-2\)” – argument to \(x\), a wartość funkcji to \(y\), mamy więc punkt \(B=(-2,4)\) Będziemy współrzędne tych dwóch punktów podstawiać do wzoru, aby otrzymać dwa równania.

\(A=(1^x,1^y)\)
\(y= \large\frac{a}{x}\)\(+m-1\)
\(1= \large\frac{a}{1}\)\(+m-1\)

\(B=(-2^x,4^y)\)
\(y= \large\frac{a}{x}\)\(+m-1\)
\(4= \large\frac{a}{-2}\)\(+m-1\)

W ten sposób powstały nam dwa równania na dwie niewiadome. To oznacza układ równań.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 1= \frac{a}{1}+m-1\\ 4= \frac{a}{-2}+m-1 \end{array} \right. \]

W pierwszym równaniu mogę się pozbyć ułamka, bo \(\large\frac{a}{1}\) to po prostu \(a\). Natomiast drugie równanie pomnożę obustronnie przez \(-2\), żeby zniknął ułamek.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 1= a+m-1\\ 4\cdot (-2)= \frac{a}{\cancel{-2}^1}\cdot (\cancel{-2})^1+m\cdot (-2)-1\cdot (-2) \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 1= a+m-1\\ -8= a-2m+2 \end{array} \right. \]

Teraz z pierwszego równania wyznaczam \(a\).

\[ \left\{ \begin{array}{l} 1+1-m= a\\ -8= a-2m+2 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2-m= a\\ -8= a-2m+2 \end{array} \right. \]

Następnie wstawiam wyznaczone \(a\) (czyli \(2-m\)) do drugiego równania.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2-m= a\\ -8= 2-m-2m+2 \end{array} \right. \]

Rozwiązuję drugie równanie, pierwsze zostawiając póki co bez zmian.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2-m= a\\ -8= 4-3m \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2-m= a\\ 3m= 4+8 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2-m= a\\ 3m= 12 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2-m= a\\ m= 4 \end{array} \right. \]

Wstawiam wyznaczoną wartość \(m\) do pierwszego równania i wyznaczam \(a\):

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2-4= a\\ m= 4 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} -2= a\\ m= 4 \end{array} \right. \]

Otrzymaliśmy współczynniki \(a\) oraz \(m\), teraz wyznaczymy wzór. Bierzemy wzór, który mamy podany w zadaniu i wstawiamy do niego liczby.

\(f(x)=\large\frac{a}{x}\)\(+m-1\)

\(f(x)=\large\frac{-2}{x}\)\(+4-1\)

\(f(x)=-\large\frac{2}{x}\)\(+3\)

Odpowiedź: Wzór tej funkcji to \(f(x)=-\large\frac{2}{x}\)\(+3\).

Kolejne zadanie:

Funkcja \(f(x)=-2x^2+bx+c\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, a jej wierzchołek ma współrzędne \(W=\large(\frac{3}{4},\frac{9}{8})\). Znajdź współczynniki \(b\) i \(c\).

Zaczynamy od tego, że sprawdzamy, ile mamy niewiadomych. Są dwie (\(b\) i \(c\)), więc potrzebujemy dwóch punktów. Pierwszy z nich to punkt \(W=\large(\frac{3}{4},\frac{9}{8})\), natomiast drugi (nazwijmy go \(A\)) to punkt \(A=(0,0)\), ponieważ funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych. Podstawiamy współrzędne tych dwóch punktów do wzoru funkcji.

\(y=-2x^2+bx+c\)

\(W=\large(\frac{3}{4}^x,\frac{9}{8}^y)\)
\(\large\frac{9}{8}=\)\(-2\cdot (\large\frac{3}{4})^2\)\(+b\cdot \large\frac{3}{4}\)\(+c\)

\(A=(0^x,0^y)\)
\(0=-2\cdot 0^2+b\cdot 0+c\)

Tworzymy układ równań.

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{8}=-2\cdot (\frac{3}{4})^2+b\cdot \frac{3}{4}+c\\ 0=-2\cdot 0^2+b\cdot 0+c \end{array} \right. \]

Porządkujemy nasze równania. Zaczynam od wykonania potęgowania.

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{8}=-2\cdot \frac{9}{16}+b\cdot \frac{3}{4}+c\\ 0=-2\cdot 0+b\cdot 0+c \end{array} \right. \]

Następnie wykonuję mnożenie.

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{8}=\frac{-18}{16}+\frac{3}{4}b+c\\ 0=0+ 0+c \end{array} \right. \]

Skracam ułamek w pierwszym równaniu oraz porządkuję drugie.

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{8}=\frac{-\cancel{18}^9}{\cancel{16}^8}+\frac{3}{4}b+c\\ 0=c \end{array} \right. \]

Jak widzisz, jeden współczynnik, czyli \(c\), już mamy. Możemy otrzymaną wartość wstawić do pierwszego równania.

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{8}=\frac{-9}{8}+\frac{3}{4}b+0\\ 0=c \end{array} \right. \]

Zajmijmy się teraz pierwszym równaniem. Ułamki utrudniają sprawę, więc pomnożymy równanie przez ich wspólny mianownik (czyli przez \(8\)), żeby się poskracały.

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{\cancel{8}^1}\cdot \cancel{8}^1=\frac{-9}{\cancel{8}^1}\cdot \cancel{8}^1+\frac{3}{\cancel{4}^1}b\cdot \cancel{8}^2\\ 0=c \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 9=-9+3b\cdot 2\\ 0=c \end{array} \right. \]

Pierwsze równanie wygląda już przyzwoicie, więc możemy z niego wyznaczyć \(b\).

\[ \left\{ \begin{array}{l} 9+9=6b\\ 0=c \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 18=6b\\ 0=c \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 3=b\\ 0=c \end{array} \right. \]

Mamy nasze współczynniki. Zwróć uwagę, że tym razem polecenie nie brzmiało „wyznacz wzór funkcji”, tylko „znajdź współczynniki \(b\) i \(c\)” – czyli już nic nie musimy robić.

Odpowiedź: Szukane współczynniki to \(b=3\) oraz \(c=0\).

Do tej pory w zadaniach mieliśmy podany wzór funkcji. Nie zawsze jednak musi tak być. Zadanie może wyglądać też tak:

Wyznacz wzór funkcji liniowej \(f\), takiej, że \(f(2)=6\), a jej miejscem zerowym jest \(3\).

Jak widzisz, nie mamy tu podanego wzoru funkcji. Wiemy natomiast, że jest to funkcja liniowa. Twoim zadaniem jest wiedzieć, że wzór funkcji liniowej wygląda tak: \(f(x)=ax+b\). Mamy dwie niewiadome, czyli potrzebujemy dwóch punktów.

Pierwszy punkt mamy z informacji, że \(f(2)=6\). \(2\) to współrzędna \(x\)-owa, a \(6\) to współrzędna \(y\)-owa, więc mamy punkt \(A=(2,6)\). Drugi punkt mamy z informacji, że miejscem zerowym funkcji jest \(3\). Miejsce zerowe to taki \(x\), dla którego \(y\) jest zero – mamy więc punkt \(B=(3,0)\). Możemy teraz podstawić współrzędne do wzoru.

\(y=ax+b\)

\(A=(2^x,6^y)\)
\(6=a\cdot 2+b\)

\(B=(3^x,0^y)\)
\(0=a\cdot 3+b\)

Mamy dwa równania, tworzymy układ równań.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 6=a\cdot 2+b\\ 0=a\cdot 3+b \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 6=2a+b\\ 0=3a+b \end{array} \right. \]

Wyłączam \(b\) z drugiego rówania (bo tam będzie to prostsze).

\[ \left\{ \begin{array}{l} 6=2a+b\\ -3a=b \end{array} \right. \]

Wstawiam \(-3a\) w miejsce \(b\) do pierwszego równania.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 6=2a-3a\\ -3a=b \end{array} \right. \]

Rozwiązuję pierwsze równanie.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 6=-a\\ -3a=b \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} -6=a\\ -3a=b \end{array} \right. \]

Wstawiam teraz \(-6\) w miejsce \(a\) do drugiego równania.

\[ \left\{ \begin{array}{l} -6=a\\ -3\cdot (-6)=b \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} -6=a\\ 18=b \end{array} \right. \]

W zadaniu chcą od nas, żebyśmy wyznaczyli wzór – czyli wstawiamy otrzymane współczynniki do wzoru.

\(f(x)=ax+b\)

\(f(x)=-6x+18\)

Odpowiedź: Funkcja ma wzór \(f(x)=-6x+18\).

Czasem może być tak, że równania są mniej „standardowe”, jak na przykład tutaj.

Dana jest funkcja \(f(x)=a^x\). Punkt \(C=(3,8)\) należy do wykresu tej funkcji. Wyznacz jej wzór.

Działamy tak samo, jak zwykle. Zaczynamy od tego, że sprawdzamy, ile mamy niewiadomych we wzorze (poza \(x\)-em). Mamy jedną niewiadomą – \(a\). To znaczy, że potrzebujemy jednego punktu. I ten punkt mamy: \(C=(3,8)\). Podstawiamy współrzędne do wzoru.

\(y=a^x\)

\(C=(3^x,8^y)\)
\(8=a^3\)

Dostaliśmy równanie na \(a\). Zastanówmy się teraz, jakie musi być \(a\), żeby to równanie było prawdziwe. Jaka liczba, podniesiona do trzeciej potęgi, da nam osiem? Jest to dwa.

\(8=2^3\)

To znaczy, że \(a=2\). Wracamy do polecenia: „Wyznacz jej wzór.” Wstawiamy nasze \(a\) do wzoru.

Odpowiedź: Wzór tej funkcji to \(f(x)=2^x\).

Teraz zadanie dla Ciebie. Powodzenia 🙂 Oczywiście w razie problemów pytaj w komentarzu.

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=a(x-1)^2+q\), taka, że \(f(1)=2\). Funkcja ta dla argumentu \(-1\) przyjmuje wartość \(14\). Wyznacz \(a\).

\(A=(1,2)\)
\(B=(-1,14)\)
\(y=a(x-1)^2+q\)
\[ \left\{ \begin{array}{l} 2=a(1-1)^2+q\\ 14=a(-1-1)^2+q \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 2=q\\ 14=4a+2 \end{array} \right. \] \(4a=12\)
\(a=3\)
Odpowiedź: \(a=3\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!