Wyzwanie Maturalne

Wyzwanie Maturalne – tydzień 1

Cześć! Zaczynamy z przygotowaniem do matury! 🙂 Jeśli nie wiesz, o co chodzi, to wszystkiego dowiesz się tutaj. Zagadnienia, którymi zajmiemy się w tym tygodniu to:

Wzory, które przewijają się w zadaniach i są napisane pogrubioną czcionką znajdują się w tablicach, które dostaniesz na maturze.

Pamiętaj, że od samego czytania nie nauczysz się rozwiązywania zadań – musisz je robić razem ze mną! 🙂 Jeśli masz jakolwiek wątpliwości – pytaj, chętnie pomogę 🙂 I daj koniecznie znać, jak Ci poszło!

Poniedziałek

Zadanie 2 / 2018

Liczba \(\large\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}\large\) jest równa:

A. \(\large\frac{\sqrt{3}}{2}\large\hspace{2.5cm}\)
B. \(\large\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\large\hspace{2.5cm} \)
C. \(\large\frac{3}{2}\large\hspace{2.5cm} \)
D. \(\large\frac{9}{4}\large\)

Zacznę od rozbicia tego wyrażenia na pojedyncze pierwiastki (możemy tak zrobić, gdy mamy do czynienia z mnożeniem lub dzieleniem, jak w naszym przykładzie). Będzie ono wtedy wyglądało tak:

\(\hspace{2.5cm}\large\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{56}}\large\)

Teraz zobaczmy, czy z któregoś pierwiastka możemy coś wyłączyć. Dlaczego? Ponieważ bardzo często jest tak, że gdy mamy różne pierwiastki, to wystarczy wyłączyć czynnik przed pierwiastek i już przestają być różne 😉

W pierwszym ułamku mamy \(7\) i \(3\) – są to liczby pierwsze, więc nie wyciągniemy z nich pierwiastka (możemy oczywiście to zrobić, ale liczba, którą otrzymamy, będzie miała nieskończenie dużo cyfr po przecinku, a my takich nie lubimy). W drugim natomiast mamy liczby \(81\) i \(56\) – tu jak najbardziej możemy spróbować. Rozłożę je teraz na czynniki pierwsze:

Następnie, ponieważ mamy pierwiastki trzeciego stopnia, będę łączyć liczby w trójki (tam, gdzie to możliwe).

To, co nam się połączyło, możemy wyciągnąć przed pierwiastek, natomiast to co się nie połączyło, zostaje pod pierwiastkiem (o rozkładaniu liczby na czynniki pierwsze i wyłączaniu czynnika przed pierwiastek przeczytasz tutaj). Stąd \(\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3}\), a \(\sqrt[3]{56}=2\sqrt[3]{7}\). Wstawiam to do naszego wyrażenia:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{56}}=\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[3]{7}}\large\)

Jak widzimy, złożyło się na tyle szczęśliwie, że zarówno \(\sqrt[3]{7}\), jak i \(\sqrt[3]{3}\) nam się skrócą:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{\cancel{\sqrt[3]{7}}^1}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{3\sqrt[3]{3}}{2\cancel{\sqrt[3]{7}}^1}\large\) = \(\large\frac{1}{\cancel{\sqrt[3]{3}}^1}\cdot\frac{3\cancel{\sqrt[3]{3}}^1}{2}\large\) = \(\large\frac{1}{1}\cdot\frac{3}{2}\large\) = \(\large\frac{3}{2}\large\)

A zatem poprawna jest odpowiedź C.

Wtorek

Zadanie 2/2017

Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

A. \(\sqrt[3]{52}\hspace{2.5cm}\)
B. \(3\hspace{2.5cm} \)
C. \(2\sqrt[3]{2}\hspace{2.5cm} \)
D. \(2\)

Zacznę od tego, że absolutnie nie wolno Ci zrobić tak:

\(\hspace{2.5cm}\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{54-2} = \sqrt[3]{52}\)

O ile różne pierwiastki (jeśli są tego samego stopnia) można mnożyć i dzielić, o tyle dodawać i odejmować już nie. Możemy dodawać i odejmować tylko takie pierwiastki, które są takie same – dlatego będziemy do tego dążyć w tym przypadku. O tym, co wolno, a czego nie wolno robić z pierwiastkami, przeczytasz tutaj. Jak pamiętasz z poprzedniego zadania, jeśli pierwiastkek, który mamy, nie do końca nam odpowiada, możemy spróbować wyłączyć coś przed pierwiastek. Z dwójki nic nie wyłączymy, ale z \(54\) jak najbardziej. Rozkładam zatem liczbę \(54\) na czynniki pierwsze.

Następnie łączę liczby w trójki i to, co się połączyło, wyciągam przed pierwiastek. Stąd \(\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}\). Wstawiam to do wyrażenia z treści zadania:

\(\hspace{2.5cm}\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} – \sqrt[3]{2}\)

Teraz, gdy mamy dwa takie same pierwiastki, możemy je już odjąć:

\(\hspace{2.5cm}3\sqrt[3]{2} – \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\)

Stąd poprawna jest odpowiedź C.

Środa

Zadanie 3/2018

Dane są liczby \(a = 3,6\cdot10^{-12}\) oraz \(b = 2,4 \cdot 10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\large\frac{a}{b}\large\) jest równy

A. \(8,64\cdot10^{-32}\hspace{2.5cm}\)
B. \(1,5\cdot10^{-8}\hspace{2.5cm} \)
C. \(1,5\cdot10^{8}\hspace{2.5cm} \)
D. \(8,64\cdot10^{32}\)

Na początek zapiszmy sobie ten iloraz liczb \(a\) i \(b\), podstawiając pod nie liczby podane w zadaniu:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{a}{b} = \frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}}\large\)

Rozdzielę to sobie na dwa osobne ułamki (zasada jest podobna, jak przy pierwiastkach – możemy tak zrobić, gdy mamy mnożenie lub dzielenie):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}} = \frac{3,6}{2,4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}\large\)

Pierwszy ułamek obliczę korzystając po prostu z kalkulatora: \(3,6 : 2,4 = 1,5\). Aby obliczyć drugi ułamek, skorzystam z tego wzoru:

\(\large\frac{a^{r}}{a^{s}} \) \(= a^{r-s}\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{10^{-12}}{10^{-20}}\) \(= 10^{-12-(-20)} = 10^{-12+20} = 10^8\)

Zwróć koniecznie uwagę, by przy pozbywaniu się ułamka nie zgubić jednego minusa – jest to częstym błędem, gdy mamy ujemne potęgi. Korzystając z naszego wzoru \(r = -12\), a \(s = -20\), więc \(r – s = -12 – (-20)\), a nie \(-12-20\). O działaniach na potęgach pisałam tutaj.

Ostatecznie otrzymujemy \(1,5\cdot10^8\), a więc odpowiedź C.

Czwartek

Zadanie 1/2017

Liczba \(5^{8}\cdot16^{-2}\) jest równa

A. \(\large(\frac{5}{2}\large)^8\hspace{2.5cm}\)
B. \(\large\frac{5}{2}\large\hspace{2.5cm} \)
C. \(10^{8}\hspace{2.5cm} \)
D. \(10\)

Na początku zobaczmy, jakie mamy odpowiedzi. Po pierwsze widzimy, że w odpowiedziach nie ma nigdzie szesnastki – są za to dwójki. W pierwszych dwóch odpowiedziach w jawnej formie, natomiast w pozostałych dwóch – ukryte w dziesiątkach (\(5\cdot2\)). Stąd wiemy, że z szesnastki musimy zrobić dwójkę.

\(\hspace{2.5cm}16 = 4\cdot4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^4\)

W wyrażeniu podanym w zadaniu liczba \(16\) jest podniesiona do potęgi \(-2\). Stąd

\(\hspace{2.5cm}16^{-2} = (2^4)^{-2}\)

Skorzystam teraz ze wzoru na potęgowanie potęgi:

\((a^r)^s = a^{r\cdot s}\)

\(\hspace{2.5cm}(2^4)^{-2} = 2^{4\cdot(-2)}=2^{-8}\)

Wracając do początkowego wyrażenia, otrzymujemy

\(\hspace{2.5cm}5^{8}\cdot16^{-2}=5^{8}\cdot 2^{-8}\)

Mamy zarówno różne podstawy, jak i różne potęgi, więc na tym etapie nie możemy tego pomnożyć. Widać jednak, że do pełni szczęścia brakuje nam jedynie pozbycia się minusa. Aby to zrobić, wystarczy liczbę „odwrócić do góry nogami”:

\(a^{-n}=\large\frac{1}{a^n}\large\)

\(\hspace{2.5cm}2^{-8}=\large\frac{1}{2^{8}}\large\)

Podstawiamy to do naszego wyrażenia:

\(\hspace{2.5cm}5^{8}\cdot 2^{-8} =5^{8} \cdot\large \frac{1}{2^{8}}\large\)

Myślę, że na tym etapie domyślasz się już, która odpowiedź jest prawidłowa, ale dla porządku doprowadźmy rozwiązanie do końca 🙂

\(\large(\frac{a}{b})^r=\frac{a^r}{b^r}\large\)

\(\hspace{2.5cm}5^{8} \cdot\large \frac{1}{2^{8}}=\frac{5^8}{2^8}=(\frac{5}{2})^8\large\)

Odpowiedź A.

O tym, jak można posługiwać się ujemnymi potęgami, przeczytasz tutaj.

Piątek

Zadanie 2/2015

Dane są liczby \(a = -\large{\frac{1}{27}}\), \(b = \log_{\frac{1}{4}}{64}, c = \log_{\frac{1}{3}}{27}\). Iloczyn \(abc\) jest równy

A. \(-9\hspace{2.5cm}\)
B. \(-\large\frac{1}{3}\large\hspace{2.5cm} \)
C. \(\large\frac{1}{3}\large\hspace{2.5cm} \)
D. \(3\)

Jak widzimy, w odpowiedziach są same liczby – to znaczy, że musimy po prostu wyznaczyć wartości tych logarytmów, a następnie wymnożyć wszystkie trzy liczby. O obliczaniu logarytmów pisałam tutaj.

Aby to zrobić, skorzystamy z definicji logarytmu:

\(\log_ac = b\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^b = c\)

Zajmijmy się pierwszym logarytmem. Nie znamy jego wyniku, więc oznaczymy go sobie jako \(b\), zgodnie z treścią zadania:

\(\hspace{2.5cm}\log_{\frac{1}{4}}{64} = b\)

Zgodnie z definicją, logarytm można zamienić na potęgowanie:

\(\hspace{2.5cm}(\frac{1}{4})^b = 64\)

Będę teraz starała się zapisać \(64\) jako \(\frac{1}{4}\) do jakiejś potęgi, by później móc te potęgi przyrównać. Zacznę od tego, że \(64\) to \(4^3\). Aby z czwórki zrobić \(\frac{1}{4}\), wystarczy zamienić potęgę na ujemną.

\(\hspace{2.5cm}64=4^3 =(\frac{1}{4})^{-3}\)

Wstawiam otrzymany wynik do równania zamiast \(64\):

\(\hspace{2.5cm}(\frac{1}{4})^b = (\frac{1}{4})^{-3}\)

Pewnie już widzisz, że aby to równanie było prawdziwe, \(b\) musi być równe \(-3\). Dokładnie to samo zrobię z liczbą \(c\), czyli \(\log_{\frac{1}{3}}{27}\).

\(\hspace{2.5cm}\log_{\frac{1}{3}}{27} = c\)

Najpierw zamieniam logarytm na potęgowanie:

\(\hspace{2.5cm} (\frac{1}{3})^c = 27\)

Następnie staram się przedstawić \(27\) jako potęgę \(\frac{1}{3}\):

\(\hspace{2.5cm}27=3^3 =(\frac{1}{3})^{-3}\)

Wstawiam wynik do naszego równania i otrzymuję w ten sposób \(c\).

\(\hspace{2.5cm}(\frac{1}{3})^c = (\frac{1}{3})^{-3}\)

\(\hspace{2.5cm}c=-3\)

Gdy już mamy liczby \(a, b\) i \(c\), możemy obliczyć ich iloczyn:

\(\hspace{2.5cm}abc = -\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3) = -\frac{1}{\cancel{27}^9}\cdot 3\cdot \cancel{3}^1 = -\frac{1}{\cancel{9}^3}\cdot\cancel{3}^1 = -\frac{1}{3}\)

Odpowiedź B.

Sobota

Zadanie 1/2018

Liczba \(2\log_36-\log_34\) jest równa

A. \(4\hspace{2.5cm}\)
B. \(2\hspace{2.5cm} \)
C. \(2\log_32\large\hspace{2.5cm} \)
D. \(\log_38\)

Jak widać po odpowiedziach, musimy albo policzyć, ile to jest, albo w jakiś sposób te dwa logarytmy złożyć w jeden. Ja wybiorę drugą opcję, bo mamy na to gotowy wzór:

\(log_ax – log_ay = \log_a\large\frac{x}{y}\)

Możemy skorzystać z tego wzoru, gdy oba logarytmy mają te same podstawy – a jak widzimy, w naszym przypadku tak jest. Gdy jednak spojrzymy na wyrażenie podane w zadaniu (\(2\log_36-\log_34\)), to zobaczymy, że nie do końca ma ono taką postać, jak we wzorze – przeszkadza nam dwójka z przodu. Dlatego najpierw zajmiemy się pierwszym członem, czyli \(2\log_36\). Aby pozbyć się tej dwójki, możemy tu skorzystać z następującego wzoru:

\(r\log_ab = \log_ab^r\)

W ten sposób zabierzemy dwójkę z przodu logarytmu i wciągniemy ją do środka. Po podstawieniu do wzoru otrzymamy:

\(\hspace{2.5cm}2\log_36 = \log_36^2\) = \(\log_336\).

Teraz do naszego wyrażenia z zadania zamiast \(2\log_36\) wstawiamy \(\log_336\), a następnie korzystamy z pierwszego wzoru na odejmowanie logarytmów:

\(\hspace{2.5cm}2\log_36 – \log_34 = \log_336 – \log_34 = \log_3\frac{36}{4} = \log_39\)

W tym miejscu możemy zerknąć do zadania i sprawdzić, czy jest taka odpowiedź. Jak widzimy, nie ma, zatem przekształcenie wyrażenia nie wystarczy – musimy je obliczyć. Aby to zrobić, skorzystamy z definicji logarytmu:

\(log_ac = b\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a^b = c\)

My mamy \(\log_39\), więc u nas \(a = 3\) i \(c = 9\). Szukamy takiego \(b\), że \(3^b = 9\). Jak wiemy, \(3^2 = 9\), dlatego \(b = 2\), a co za tym idzie, \(log_39 = 2\). Stąd poprawna jest odpowiedź B.

O działaniach na logarytmach pisałam tutaj.

Niedziela

Zadanie 33/2015

Wśród \(115\) osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletówLiczba osób
ulgowe76
normalne41


Uwaga! \(27\) osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Najpierw oznaczmy sobie zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy policzyć:

\(A\) – zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrana osoba nie kupiła żadnego biletu

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie kupiła żadnego biletu, musimy się najpierw dowiedzieć, ile takich osób jest.

Wiemy, że ulgowe bilety kupiło \(76\) osób, a normalne – \(41\). Wiemy też, że \(27\) osób kupiło oba bilety – to znaczy, że \(27\) osób zostało policzone dwa razy (do osób, które kupiły bilety normalne i do osób, które kupiły bilety ulgowe). Policzmy zatem, ile osób kupiło tylko bilety normalne, a ile tylko bilety ulgowe.

\(\hspace{2.5cm}\)Dwa rodzaje biletów: \(27\) osób

\(\hspace{2.5cm}\)Tylko bilety ulgowe: \(76 – 27 = 49\) osób

\(\hspace{2.5cm}\)Tylko bilety normalne: \(41 – 27 = 14\) osób

Teraz policzmy, ile jest razem osób, które kupiły bilety:

\(\hspace{2.5cm}14 + 49 + 27 = 90\)

Skoro ankietowanych było razem \(115\), a osób, które kupiło bilety było \(90\), to osób, które nie kupiły biletów, było \(25\):

\(\hspace{2.5cm}115 – 90 = 25\)

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie kupiła żadnego biletu, musimy podzielić liczbę osób, które nie kupiły żadnego biletu, przez liczbę wszystkich ankietowanych:

\(\hspace{2.5cm}P(A) =\large \frac{25}{115}\)

Ponieważ w poleceniu napisano, by przedstawić wynik w postaci nieskracalnego ułamka, musimy jeszcze skrócić licznik i mianownik (przez \(5\)):

\(\hspace{2.5cm}P(A) =\large \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{115}^{23}} = \frac{5}{23}\)

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu, wynosi \(\large \frac{5}{23}\).

Jeśli któryś z kroków był dla Ciebie niezrozumiały, to o obliczaniu prawdopodobieństwa możesz poczytać tutaj.

4 thoughts on “Wyzwanie Maturalne – tydzień 1

  1. Pierwszy raz jestem na Pani stronie, ciekawe przedsięwzięcie, z chęcią wezmę udział. Tyle, że już na wstępie wyszedł ze mnie wewnętrzny biol chem, przyzwyczajony do robienia 30 zadań dziennie ze zbiorów Witowskiego i zrobiłam wszystkie zadania od razu :’) Pozdrawiam!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!