Wyzwanie Maturalne

Wyzwanie maturalne – tydzień 2

Cześć! Zaczynamy drugi tydzień wyzwania. Zagadnienia, którymi się zajmiemy, to:

Zadania z poprzedniego tygodnia znajdziesz tutaj, a zasady wyzwania – tutaj. Powodzenia! 🙂

Poniedziałek

Zadanie 4/2015

Równość \(\large\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla:

A. \(m=5\hspace{2.5cm}\)
B. \(m=4\hspace{2.5cm}\)
C. \(m=1\hspace{2.5cm}\)
D. \(m=-5\)

Mamy do rozwiązania następujące równanie:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\)

Ponieważ po obu stronach mamy ułamki, możemy zastosować mnożenie na skos:

\(\hspace{2.5cm}m\cdot 5 = (5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})\)

Wymnażam przez siebie nawiasy:

\(\hspace{2.5cm}m\cdot 5= 5^2+5\cdot\sqrt{5} – \sqrt{5}\cdot 5 – \sqrt{5}^2\)

Następnie porządkuję wyrażenie:

\(\hspace{2.5cm}5m=25+\cancel{5\sqrt{5}}-\cancel{5\sqrt{5}}-5\)

\(\hspace{2.5cm}5m=25-5\)

\(\hspace{2.5cm}5m=20\)

Dzielę obustronnie przez \(5\):

\(\hspace{2.5cm}m = 4\)

Stąd odpowiedź B.

O rozwiązywaniu równań możesz poczytać tutaj.

Wtorek

Zadanie 12/2015

Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność \(\large\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\)?

A. \(14\hspace{2.5cm}\)
B. \(15\hspace{2.5cm}\)
C. \(16\hspace{2.5cm}\)
D. \(17\)

Mamy do rozwiązania podwójną nierówność:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\)

Rozdzielimy to sobie teraz na dwie nierówności i rozwiążemy każdą z nich osobno. Najpierw lewa:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2}{7}<\frac{x}{14}\)

Pomnożę teraz nierówność obustronnie przez \(14\) (wspólny mianownik liczb \(7\) i \(14\)), aby pozbyć się ułamków:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2}{7}\cdot 14<\frac{x}{14}\cdot 14\)

Teraz mogę sobie poskracać:


\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2}{\cancel{7}^1}\cdot \cancel{14}^2<\frac{x}{\cancel{14}^1}\cdot \cancel{14}^1\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2}{1}\cdot 2<\frac{x}{1}\cdot 1\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{4}{1}<\frac{x}{1}\)

\(\hspace{2.5cm}4<x\)

\(\hspace{2.5cm}x>4\)

Teraz rozwiązuję prawą nierówność:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\)

Najpierw pomnożę obustronnie przez \(42\) (wspólny mianownik liczb \(3\) i \(14\)):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{x}{14}\cdot 42<\frac{4}{3}\cdot 42\)

Teraz mogę sobie poskracać (po lewej stronie przez \(14\), a po prawej przez \(3\)):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{x}{\cancel{14}^1}\cdot \cancel{42}^3<\frac{4}{\cancel{3}^1}\cdot \cancel{42}^{14}\)

Porządkuję nierówność:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{x}{1}\cdot 3<\frac{4}{1}\cdot 14\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{3x}{1}<\frac{4\cdot 14}{1}\)

\(\hspace{2.5cm}3x<56\)

Dzielę obustronnie przez \(3\)

\(\hspace{2.5cm}x<\large\frac{56}{3}\)

Zamieniam ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:

\(\hspace{2.5cm}x<18\large\frac{2}{3}\)

Otrzymaliśmy zatem dwa warunki na \(x\) – ma być większy od \(4\) i mniejszy od \(18\large\frac{2}{3}\). W zadaniu pytają nas, ile liczb całkowitych spełnia te warunki. Wypiszmy sobie te liczby:

\(\hspace{2.5cm}5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18\)

Zauważ, że nie policzyłam liczby \(4\) – \(x\) ma być większy od czterech, a więc czwórka nie zalicza się do tego zbioru.

Jak łatwo możemy policzyć, liczb, ktore wypisaliśmy, jest \(14\) – odpowiedź A.

O rozwiązywaniu nierówności możesz poczytać tutaj.

Środa

Zadanie 22/2016

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

A. \(0 \leq p < 0,2 \hspace{1.5cm}\)
B. \(0,2 \leq p \leq 0,35\hspace{1.5cm}\)
C. \(0,35 < p \leq 0,5\hspace{1.5cm} \)
D. \(0,5< p \leq 1\)

Oznaczmy sobie najpierw zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy policzyć:

\(\hspace{2.5cm}A\) – zdarzenie polegające na tym, że w trzech rzucach wypadną dokładnie dwa orły

Możemy takie zdarzenie uzyskać na trzy sposoby:

  • \(1\) – orzeł, \(2\) – orzeł, \(3\) – reszka
  • \(1\) – orzeł, \(2\) – reszka, \(3\) – orzeł
  • \(1\) – reszka, \(2\) – orzeł, \(3\) – orzeł

(liczbami oznaczałam numery rzutów – \(1\) to pierwszy rzut itd.)

A więc \(|A|=3\) – bo zdarzenie \(A\) możemy uzyskać na trzy sposoby.

Aby wyznaczyć liczbę wszystkich możliwych kombinacji, posłużymy się metodą mnożenia. Robimy tak, ponieważ mamy więcej niż jedno losowanie. W pierwszym losowaniu mogą wypaść dwie różne możliwości (orzeł lub reszka). W drugim również mamy dwie możliwości. W trzecim także możemy mieć dwa różne wyniki. Dlatego wszystkich kombinacji w trzech losowaniach mamy \(2\cdot 2 \cdot 2\), czyli \(8\):

\(\hspace{2.5cm}|\Omega|=8\)

Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\):

\(P(A)=\large\frac{|A|}{|\Omega|}\)

\(\hspace{2.5cm}P(A)=\large\frac{3}{8}\)

Gdy w kalkulator wpiszemy działanie \(3:8\), otrzymamy wynik \(0,375\). Zawiera się on w przedziale od \(0,35\) do \(0,5\), stąd poprawna jest odpowiedź C.

O tym, jak sobie radzić z obliczaniem prawdopodobieństwa w takich sytuacjach, przeczytasz tutaj.

Czwartek

Zadanie 24/2015

Średnia arytmetyczna zestawu danych:

\(2, 4, 7, 8, 9\)

jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:

\(2, 4, 7, 8, 9, x.\)

Wynika stąd, że

A. \(x=0\hspace{2.5cm}\)
B. \(x=3\hspace{2.5cm}\)
C. \(x=5\hspace{2.5cm}\)
D. \(x=6\hspace{2.5cm}\)

Najpierw policzę średnią arytmetyczną pierwszego zestawu danych:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{\cancel{30}^6}{\cancel{5}^1}=\frac{6}{1}=6\)

Teraz zapiszę średnią arytmetyczną drugiego zestawu danych:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2+4+7+8+9+x}{6}\)

Z treści zadania wiemy, że średnia pierwszego i drugiego zestawu danych jest taka sama. Obliczyliśmy, że średnia pierwszego zestawu jest równa \(6\), a więc i średnia drugiego zestawu jest równa \(6\):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2+4+7+8+9+x}{6}=6\)

Otrzymaliśmy równanie, z którego mamy wyznaczyć \(x\). Najpierw pomnożę je obustronnie przez \(6\), aby pozbyć się ułamka:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2+4+7+8+9+x}{6}\cdot 6 =6 \cdot 6\)

Teraz mogę sobie poskracać:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{2+4+7+8+9+x}{\cancel{6}^1}\cdot \cancel{6}^1 =6 \cdot 6\)

\(\hspace{2.5cm}2+4+7+8+9+x =36\)

\(\hspace{2.5cm}30 + x = 36\)

Przerzucam \(30\) na drugą stronę ze zmienionym znakiem:

\( \hspace{2.5cm}x = 36-30\)

\(\hspace{2.5cm}x=6\)

A zatem poprawna jest odpowiedź D.

Różne zadania ze średnią arytmetyczną znajdziesz tutaj.

Piątek

Zadanie 8/2018

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P = (0, \large\frac{1}{3})\).
B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P = (0,-1 ). \)
C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P = (0, \large\frac{1}{3})\).
D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P = (0,-1)\).

Tu rozwiązanie będzie krótkie jak nigdy.

Funkcja liniowa ma postać \(f(x)=ax+b\). Jeśli \(a>0\), to funkcja jest rosnąca, zaś jeśli \(a<0\), to funkcja jest malejąca. U nas współczynnik \(a\) jest równy \(\large\frac{1}{3}\), a więc jest większy od zera – zatem nasza funkcja jest rosnąca.

Natomiast współczynnik \(b\), który u nas jest równy \(-1\), określa nam punkt przecięcia funkcji z osią \(Oy\) – jest to punkt \((0, b)\). Zatem punkt przecięcia naszej funkcji z osią \(Oy\) to \((0,-1)\).

Stąd poprawda jest odpowiedź D.

O własnościach funkcji liniowej pisałam tutaj.

Sobota

Zadanie 9/2017

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12\) jest liczba

A. \(\sqrt{3} – 4\hspace{2.5cm}\)
B. \(-2\sqrt{3}+1\hspace{2.5cm}\)
C. \(4\sqrt{3}-1\hspace{2.5cm}\)
D. \(-\sqrt{3}+12\)

Mamy daną następującą funkcję: \(f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12\). Aby obliczyć jej miejsce zerowe, zamiast \(f(x)\) wstawiamy \(0\) – otrzymujemy w ten sposób równanie:

\(\hspace{2.5cm}0=\sqrt{3}(x+1)-12\)

Najpierw pozbywam się nawiasów:

\(\hspace{2.5cm}0=\sqrt{3}x+\sqrt{3}-12\)

Następnie liczby przerzucam na drugą stronę ze zmianą znaku:

\(\hspace{2.5cm}12-\sqrt{3} = \sqrt{3}x\)

Dzielę obustronnie przez to, co stoi przy \(x\)-ie, czyli przez \(\sqrt{3}\):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{12-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=x\)

Teraz możemy sprawdzić, czy w odpowiedziach jest taki wynik. Jak widzimy, nie ma, więc należy to jeszcze przekształcić. Najpierw rozdzielę to wyrażenie na dwa ułamki (bo w odpowiedziach widzę różnicę dwóch liczb):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{12}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=x\)

Widzimy, że drugi ułamek nam się skróci:

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{12}{\sqrt{3}}-\frac{\cancel{\sqrt{3}}^1}{\cancel{\sqrt{3}}^1}=x\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{12}{\sqrt{3}}-\frac{1}{1}=x\)

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{12}{\sqrt{3}}-1=x\)

Spójrzmy jeszcze raz na odpowiedzi. Bliżej, ale to wciąż nie to, dlatego teraz usunę niewymierność z mianownika w ułamku (o tym, dlaczego to robię i jak to robię przeczytasz tu):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\cancel{12}^4\sqrt{3}}{\cancel{3}^1}=\frac{4\sqrt{3}}{1}=4\sqrt{3}\)

Wstawiamy wynik przekształceń do naszego równania:

\(\hspace{2.5cm}4\sqrt{3}-1=x\)

Patrzymy do odpowiedzi i w końcu okazuje się, że jest tam taki wynik – jest to odpowiedź C.

Niedziela

Zadanie 6/2015

Suma wszystkich pierwiastków równania (x+3)(x+7)(x-11)=0 jest równa

A. \(-1\hspace{2.5cm}\)
B. \(21\hspace{2.5cm}\)
C. \(1\hspace{2.5cm}\)
D. \(-21\)

Mamy do rozwiązania równanie \((x+3)(x+7)(x-11)=0\). Gdy mamy równanie w takiej formie (to znaczy mamy kilka czynników pomnożonych przez siebie po jednej stronie, a zero po drugiej), to rozwiązujemy je przyrównując każdy z tych czynników do zera:

\(\hspace{2.5cm}x+3=0\)

\(\hspace{2.5cm}x+7=0\)

\(\hspace{2.5cm}x-11=0\)

Mamy teraz trzy równania do rozwiązania. W każdym z nich przerzucamy liczbę na drugą stronę, zmieniając przy tym znak:

\(\hspace{2.5cm}x=-3\)

\(\hspace{2.5cm}x=-7\)

\(\hspace{2.5cm}x=11\)

Otrzymaliśmy trzy pierwiastki równania: \(-3, -7\) i \(11\). Obliczmy teraz ich sumę (bo o to pytają nas w zadaniu):

\(\hspace{2.5cm}-3+(-7)+11=-3-7+11=1\)

A zatem suma pierwiastków równania wynosi \(1\) – odpowiedź C.

Więcej o rozwiązywaniu równań w postaci iloczynowej przeczytasz tutaj.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!