Wyzwanie Maturalne

Wyzwanie maturalne – tydzień 3

Cześć! 🙂 Zaczynamy trzeci tydzień! Będziemy omawiać następujące zagadnienia:

Zasady wyzwania znajdziesz tu, zadania z poprzednich tygodni tu i tu, a karty wzorów tu. Wzory, które są napisane na środku wytłuszczonym drukiem, są dostępne w kartach wzorów dostępnych na maturze.

Poniedziałek


Zadanie 21/2016

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A = (a,6)\) oraz \(B = (7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M = (3,4)\). Wynika stąd, że

A. \(a = 5\) i \(b = 5\hspace{1.5cm}\)
B. \(a = −1\) i \(b = 2\hspace{1.5cm}\)
C. \(a = 4\) i \(b =10\hspace{1.5cm}\)
D. \(a = −4\) i \(b = −2\)

Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka. Współrzędne środka odcinka \(AB\) mają następującą postać:

\(\large(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})\)

O tym, jak korzystać z tego wzoru, przeczytasz tutaj.

W naszym zadaniu \(x_A=a\), \(y_A=6\), \(x_B=7\), \(y_B=b\). Podstawiamy to do wzoru:

\(\hspace{2.5cm}\large(\frac{a+7}{2},\frac{6+b}{2})\)

Jednocześnie wiemy, że współrzędne tego punktu to \((3,4)\). Z tego wynika, że pierwsza współrzędna, czyli \(\large\frac{a+7}{2}\), jest równa \(3\), natomiast druga, czyli \(\large\frac{6+b}{2}\), jest równa \(4\). W ten sposób otrzymaliśmy dwa równania na \(a\) i \(b\), które możemy rozwiązać. Najpierw znajdziemy \(a\):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{a+7}{2}=3\)

\(\hspace{2.5cm}a+7=3\cdot 2\)

\(\hspace{2.5cm}a+7=6\)

\(\hspace{2.5cm}a=6-7\)

\(\hspace{2.5cm}a=-1\)

W zasadzie w tym momencie możemy już wskazać właściwą odpowiedź, ale dla formalności wyznaczmy jeszcze \(b\):

\(\hspace{2.5cm}\large\frac{6+b}{2}=4\)

\(\hspace{2.5cm}6+b=4\cdot 2\)

\(\hspace{2.5cm}6+b=8\)

\(\hspace{2.5cm}b=8-6\)

\(\hspace{2.5cm}b=2\)

Poprawna jest więc odpowiedź B.

Wtorek

Zadanie 5/2016

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x<-2\), jest

A. \(1\hspace{2.5cm}\)
B. \(−1\hspace{2.5cm}\)
C. \(2\hspace{2.5cm}\)
D. \(−2\)

Mamy sprawdzić, która z podanych liczb spełnia nierówność. Aby to zrobić, będziemy po prostu podstawiać te liczby po kolei w miejsce \(x\) i sprawdzać, czy wychodzi nam prawda, czy sprzeczność. Najpierw podstawimy \(1\):

\(\hspace{2.5cm}-1^5+1^3-1<-2\)

Porządkuję lewą stronę:

\(\hspace{2.5cm}-1+1-1<-2\)

\(\hspace{2.5cm}-1<-2\)

To, co nam wyszło, nie jest prawdą, bo \(-1\) jest większe od \(-2\), a nie mniejsze. Sprawdzamy kolejną liczbę, czyli \(-1\):

\(\hspace{2.5cm}-(-1)^5+(-1)^3-(-1)<-2\)

Tym razem \(x\) jest ujemny, więc należy pamiętać o nawiasach. Porządkuję teraz lewą stronę:

\(\hspace{2.5cm}-(-1)+(-1)-(-1)<-2\)

\(\hspace{2.5cm}1-1+1<-2\)

\(\hspace{2.5cm}1<-2\)

Znowu nieprawda. Sprawdzamy kolejną liczbę:

\(\hspace{2.5cm}-2^5+2^3-2<-2\)

\(\hspace{2.5cm}-32+8-2<-2\)

\(\hspace{2.5cm}-26<-2\)

Ta nierówność jest prawdziwa. Poprawna jest zatem odpowiedź C.

Więcej przykładów tego typu znajdziesz tutaj.

Środa

Zadanie 4/2016

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

A. \(a = 3\hspace{2.5cm}\)
B. \(a =1\hspace{2.5cm}\)
C. \(a = −2\hspace{2.5cm}\)
D. \(a = −3\)

Teoretycznie moglibyśmy to równanie rozwiązać, ale uwierz mi – nie chcesz tego robić. Ja na swoje nieszczęście to zrobiłam i wychodzą straszne rzeczy. Dużo łatwiej będzie po prostu podstawiać po kolei odpowiedzi i sprawdzać, która z nich spełnia równanie. Jeśli po obu stronach równania otrzymamy to samo (czyli na przykład \(6=6\)) to znaczy, że liczba spełnia równanie. Jeśli natomiast po jednej stronie otrzymamy co innego, niż po drugiej (na przykład \(3=7\)), to liczba nie spełnia równania.

Zacznijmy od pierwszej odpowiedzi, czyli \(a=3\). Wstawiam tę liczbę do naszego równania:

\(\hspace{2.5cm}(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2}\)

Korzystam po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia:

\(\hspace{2.5cm}(2\sqrt{2})^2+3^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3=17-12\sqrt{2}\)

Porządkuję lewą stronę:

\(\hspace{2.5cm}4\cdot 2 +9-4\sqrt{2}\cdot 3=17-12\sqrt{2}\)

\(\hspace{2.5cm}8 +9-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2}\)

\(\hspace{2.5cm}17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2}\)

Po obu stronach otrzymaliśmy to samo, a więc nie musimy już dalej sprawdzać – poprawna jest odpowiedź A.

Czwartek

Zadanie 8/2015

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).


Zbiorem wartości tej funkcji jest

A. \((-2,2)\hspace{2.5cm}\)
B. \(\langle-2,2)\hspace{2.5cm}\)
C. \(\langle-2,2\rangle\hspace{2.5cm}\)
D. \((-2,2\rangle\)

Zbiór wartości odczytujemy z wykresu w taki sposób, że patrzymy, dla jakich \(y\)-ów funkcja istnieje. Aby to sobie łatwiej wyobrazić, możemy wziąć długopis i poprowadzić poziome linie od funkcji do osi \(Oy\). Gdy już to zrobimy, odczytujemy (cały czas z osi \(Oy\)), w jakim przedziale obszar jest zamalowany.

Widać (jeśli nie z wykresu, to z odpowiedzi), że jest to u nas przedział od \(-2\) do \(2\). Musimy się tylko zastanowić, czy te skrajne liczby należą do przedziału, czy nie.

Zacznijmy od \(-2\). Na wykresie przy tej liczbie mamy niezamalowane kółeczko. To znaczy, że \(-2\) nie należy do zbioru wartości. Zatem zapisując przedział, od strony \(-2\) postawimy nawias okrągły.

Teraz \(2\). Tu również mamy niezamalowane kółeczko, więc mogłoby się wydawać, że \(2\) również nie należy do zbioru. Tu sytuacja wygląda jednak inaczej. Punkt \((0,2)\), faktycznie nie należy do wykresu, ale należy do niego wiele innych punktów o współrzędnej \(y\)-owej równej \(2\), jak chociażby \((1,2)\) (innymi słowy, sam punkt w miejscu kółeczka nie należy do wykresu, ale należy do niego cała pionowa linia na prawo od tego punktu). Dlatego właśnie dwójka należy do zbioru wartości i zapisując przedział, stawiamy przy niej nawias „dzióbkowaty”. Zatem nasz zbiór wartości wygląda tak: \((-2,2\rangle\). Odpowiedź D.

Piątek

Zadanie 16/2015

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20°\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

A. \(5°\hspace{2.5cm}\)
B. \(10°\hspace{2.5cm}\)
C. \(20°\hspace{2.5cm}\)
D. \(30°\)

Na początek zróbmy rysunek. Oznaczmy sobie kąt środkowy jako \(\alpha\), a kąt wpisany jako \(\beta\).

Z zadania wiemy, że kąt wpisany jest o \(20^{\circ}\) mniejszy, niż kąt środkowy. Stąd

\(\hspace{2.5cm}\alpha=\beta+20^{\circ}\)

Jednocześnie wiemy, że jeśli mamy kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego. Dlatego

\(\hspace{2.5cm}\alpha=2\beta\)

Skoro \(\alpha\) jest równe \(\beta+20^{\circ}\) i jednocześnie jest równe \(2\beta\), to możemy wyciągnąć wniosek, że

\(\hspace{2.5cm}\beta+20^{\circ}=2\beta\)

Otrzymaliśmy równanie, które rozwiązujemy:

\(\hspace{2.5cm}\beta-2\beta=-20^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}-\beta=-20^{\circ}\)

\(\hspace{2.5cm}\beta=20^{\circ}\)

Mieliśmy obliczyć miarę kąta wpisanego, czyli właśnie kąta \(\beta\). Poprawna jest zatem odpowiedź C.

Sobota

Zadanie 19/2015

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla

A. \(m=-\frac{1}{2}\hspace{2.5cm}\)
B. \(m= \frac{1}{2}\hspace{2.5cm}\)
C. \(m =1\hspace{2.5cm}\)
D. \(m = 2\)

Jeśli mamy dwie proste o równaniach \(y=a_1x+b_1\) oraz \(y=a_2x+b_2\) i są one prostopadłe, to spełniony jest następujący warunek:

\(a_1\cdot a_2=-1\)

U nas \(a_1=2m\), natomiast \(a_2=4m^2\). Podstawiamy to do wzoru:

\(\hspace{2.5cm}2m\cdot 4m^2 = -1\)

Otrzymaliśmy równanie, z którego możemy wyznaczyć \(m\):

\(\hspace{2.5cm}8m^3=-1\)

\(\hspace{2.5cm}m^3=\large\frac{-1}{8}\)

\(\hspace{2.5cm}m=\sqrt[3]{-\large\frac{1}{8}}\)

\(\hspace{2.5cm}m=-\large\frac{1}{2}\)

Poprawna jest zatem odpowiedź A.

Niedziela

Zadanie 27/2018

Rozwiąż równanie \((x^3+125)(x^2-64)=0\)

Równanie, które mamy rozwiązać, jest w postaci iloczynowej. Będziemy więc każdy czynnik przyrównywać do zera. Najpierw lewy:

\(\hspace{2.5cm}x^3+125=0\)

Przerzucamy liczbę na prawą stronę:

\(\hspace{2.5cm}x^3=-125\)

\(\hspace{2.5cm}x=\sqrt[3]{-125}\)

\(\hspace{2.5cm}x=-5\)

Mamy już pierwsze rozwiązanie. Teraz przyrównujemy do zera drugi czynnik.

\(\hspace{2.5cm}x^2-64=0\)

Jest to równanie kwadratowe, więc na nie mamy osobną metodę rozwiązania. Najpierw liczymy deltę.

\(\Delta=b^2-4ac\)

U nas \(a=1\), \(b=0\) i \(c=-64\). Podstawiamy:

\(\hspace{2.5cm}\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot(-64)\)

\(\hspace{2.5cm}\Delta=256\)

Delta wyszła nam dodatnia, a więc mamy dwa rozwiązania. Wzory na nie wyglądają następująco:

\(x_1=\large\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_2=\large\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Podstawiam najpierw do pierwszego wzoru:

\(\hspace{2.5cm}x_1=\large\frac{-0-\sqrt{256}}{2\cdot 1}\)

\(\hspace{2.5cm}x_1=\large\frac{-0-16}{2}\)

\(\hspace{2.5cm}x_1=\large\frac{-16}{2}\)

\(\hspace{2.5cm}x_1=-8\)

Analogicznie wyznaczamy drugie rozwiązanie:

\(\hspace{2.5cm}x_2=\large\frac{-0+\sqrt{256}}{2\cdot 1}\)

\(\hspace{2.5cm}x_2=\large\frac{-0+16}{2}\)

\(\hspace{2.5cm}x_2=\large\frac{16}{2}\)

\(\hspace{2.5cm}x_2=8\)

Mamy więc łącznie trzy rozwiązania: \(-5\), \(-8\) i \(8\). Zapisujemy rozwiązanie:

\(\hspace{2.5cm}x\in\lbrace-8,-5,8\rbrace\)

2 thoughts on “Wyzwanie maturalne – tydzień 3

  1. Wspaniały pomysł 🙂 Wszystkie zagadnienia prosto i jasno wytłumaczone w dodatku poparte przykładami i zadaniami. Jestem tegoroczną maturzystką i bardzo się cieszę, że znalazłam tę stronę która motywuje mnie do działania! Pozdrawiam serdecznie! 😉

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!