Wyzwanie Maturalne

Wyzwanie maturalne – tydzień 4

Cześć! 🙂 To już czwarty tydzień! W tym tygodniu zaczniemy robić zadania, które wymagają nieco więcej myślenia. Zagadnienia, za które się weźmiemy, to:

  • równania z niewiadomą w mianowniku
  • procenty
  • układanie równań
  • algebraiczne rozwiązywanie układu równań
  • graficzne rozwiązywanie układu równań
  • własności funkcji kwadratowej
  • wyznaczanie największej i najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w zadanym przedziale

Zasady wyzwania znajdziesz tu, zadania z poprzednich tygodni tu, tu i tu a karty wzorów tu. Wzory, które są napisane na środku wytłuszczonym drukiem, są dostępne w kartach wzorów, które dostaniesz na maturze.

PS: W najbliższym czasie harmonogram umieszczania postów będzie nieco inny niż do tej pory – więcej szczegółów znajdziesz na fejsbukowym fanpejdżu.

Poniedziałek

Zadanie 7/2018

Równanie \(\large\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)

A. ma trzy rozwiązania: \(x = − 2\) , \(x = 0\) , \(x = 2\)
B. ma dwa rozwiązania: \(x = 0\) , \(x = − 2\)
C. ma dwa rozwiązania: \(x = − 2\) , \(x = 2\)
D. ma jedno rozwiązanie: \(x = 0\)

Mamy do rozwiązania równanie z niewiadomą w mianowniku. Zawsze, gdy widzisz niewiadomą w mianowniku, powinna Ci się zapalić czerwona lampka. Jeśli nie nałożymy na tę niewiadomą odpowiednich warunków, to może się zdarzyć tak, że w mianowniku znajdzie się zero – a jak być może pamiętasz, nie wolno dzielić przez zero, bo Wrzechświat wybucha i dzieją się straszne rzeczy. Dlatego najpierw zajmiemy się mianownikiem. Robimy następujące założenie:

\(x^2-4\neq 0\),

bo nie chcemy dzielić przez zero. Jak widać, jest to równanie kwadratowe, więc liczymy deltę, a następnie znajdujemy rozwiązania:

\(\Delta=b^2 – 4ac\)

U nas \(a = 1\), \(b=0\) i \(c=-4\). Podstawiamy to do wzoru:

\(\Delta = 0^2-4\cdot 1 \cdot (-4)\)

Obliczamy:

\(\Delta = 0+16=16\)

Delta wyszła nam dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania. Wyznaczmy je:

\(x_1=\large\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2=\large\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_1=\large\frac{-0-\sqrt{16}}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\large\frac{-0-4}{2}\)

\(x_1=\large\frac{-4}{2}\)

\(x_1=-2\)

\(x_2=\large\frac{-0+\sqrt{16}}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\large\frac{-0+4}{2}\)

\(x_1=\large\frac{4}{2}\)

\(x_1=2\)

Mamy dwa rozwiązania, a więc dwie liczby, których nie możemy wstawić za \(x\)-a (bo jeśli to zrobimy, to w mianowniku otrzymamy zero).

\(x\neq -2\) i \(x\neq 2\)

Przyda nam się to później, gdy już rozwiążemy całe równanie – będziemy musieli sprawdzić, czy rozwiązanie nie jest jedną z „zakazanych” liczb.

Teraz możemy zająć się już właściwym rozwiązaniem. Nasze równanie wygląda tak:

\(\large\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)

Jak zawsze, gdy mamy w równaniach ułamki, mnożymy równanie obustronnie przez wspólny mianownik. My mamy tylko jeden mianownik: \(x^2-4\), więc przez niego pomnożymy:

\(\large\frac{x^2+2x}{x^2-4}\cdot (x^2-4)=0\cdot (x^2-4)\)

Po lewej stronie możemy sobie skrócić:

\(\large\frac{x^2+2x}{\cancel{x^2-4}^1}\cdot \cancel{(x^2-4)}^1=0\cdot (x^2-4)\)

\(x^2+2x=0\cdot (x^2-4)\)

Natomiast po prawej stronie mamy zero razy coś – jest to zawsze zero:

\(x^2+2x=0\)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe do rozwiązania. Jak zawsze w tej sytuacji, liczymy deltę:

\(\Delta=b^2 – 4ac\)

U nas \(a=1\), \(b=2\) i \(c=0\). Podstawiamy to do wzoru:

\(\Delta=2^2-4\cdot 1 \cdot 0\)

\(\Delta = 4-0\)

\(\Delta = 4\)

Delta jest dodatnia, mamy więc dwa rozwiązania:

\(x_1=\large\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2=\large\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x_1=\large\frac{-2-\sqrt{4}}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\large\frac{-2-2}{2}\)

\(x_1=\large\frac{-4}{2}\)

\(x_1=-2\)

\(x_2=\large\frac{-2+\sqrt{4}}{2\cdot 1}\)

\(x_2=\large\frac{-2+2}{2}\)

\(x_2=\large\frac{0}{2}\)

\(x_2=0\)

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania równania: \(0\) i \(-2\). Teraz cofniemy się do naszych założeń i sprawdzimy, czy któreś z rozwiązań nie jest liczbą „zakazaną”.

Nasze założenia to \(x\neq -2\) i \(x\neq 2\), a to znaczy, że liczba \(-2\) nie może być rozwiązaniem tego równania. Zostaje nam więc tylko jedno rozwiązanie: \(0\). Odpowiedź D.

Wtorek

Zadanie 3/2016

Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że

A. \(c=1,5a\)
B. \(c=1,6a\)
C. \(c=0,8a\)
D. \(c=0,16a\)

Zapiszmy przy pomocy symboli matematycznych to, co wiemy z zadania. Wiemy, że liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\). Zatem

\(b=48\%a\)

Wiemy też, że liczba \(b\) stanowi \(32\%\) liczby \(c\). Stąd

\(b=32\%c\)

Skoro \(b=48\%a\) i jednocześnie \(b=32\%c\), to możemy wysnuć wniosek, że

\(48\%a=32\%c\)

Zamienię procenty na ułamki dziesiętne, bo taką formę mamy w odpowiedziach:

\(0,48a=0,32c\)

Mamy sprowadzić to równanie do postaci „\(c\) = cośtam” (bo taką postać mają odpowiedzi). Podzielę więc je obustronnie przez to, co stoi przy \(c\), czyli przez \(0,32\):

\(\large\frac{0,48a}{0,32}=c\)

Wpisuję w kalkulator działanie \(0,48:0,32\). Otrzymuję \(1,5\), stąd

\(1,5a=c\)

Odpowiedź A.

Środa

Zadanie 32/2016

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\) . Oblicz kąty tego trójkąta.

Powiedzmy, że kąty naszego trójkąta to \(\alpha\), \(\beta\) i \(\gamma\). Teraz przebrnijmy krok po kroku przez polecenie. „Jeden z kątów trójkąta” – powiedzmy, że będzie to \(\alpha\), „jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów” – powiedzmy, że mniejszy z dwóch pozostałych kątów to \(\beta\). Stąd wiemy, że \(\alpha\) jest trzy razy większy od \(\beta\). Przy użyciu symboli matematycznych zapisalibyśmy to tak:

\(\alpha = 3\beta\)

Czytajmy dalej: „dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\)” – te dwa pozostałe kąty to \(\beta\) i \(\gamma\). Ustaliliśmy, że z tych dwóch kątów kąt \(\beta\) jest mniejszy – możemy więc zapisać, że

\(\gamma = \beta + 50^{\circ}\)

Są to kąty trójkąta, więc wiemy, że

\(\alpha +\beta +\gamma = 180^{\circ}\)

Ustaliliśmy, że \(\alpha = 3\beta\) oraz że \(\gamma = \beta + 50^{\circ}\). Możemy to wstawić do ostatniego równania:

\(3\beta +\beta +\beta + 50^{\circ} = 180^{\circ}\)

Otrzymaliśmy równanie na betę, które rozwiążemy:

\(5\beta + 50^{\circ} = 180^{\circ}\)

\(5\beta = 180^{\circ}- 50^{\circ} \)

\(5\beta = 130^{\circ}\)

\(\beta = 26^{\circ}\)

Teraz obliczymy pozostałe kąty:

\(\alpha = 3\beta=3\cdot 26^{\circ}=78^{\circ}\)

\(\gamma = \beta + 50^{\circ}=26^{\circ} + 50^{\circ}=76^{\circ}\)

Odpowiedź: Kąty tego trójkąta to \(26^{\circ}\), \(78^{\circ}\) i \(76^{\circ}\).

Czwartek

Zadanie 31/2015

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\large\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\large\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Na początek zastanówmy się, jakie będą nasze niewiadome. W zadaniu cały czas pojawiają się licznik i mianownik, więc to one będą naszym punktem wyjścia. Oznaczmy sobie licznik jako \(x\), a mianownik jako \(y\). Nasz ułamek ma postać \(\large\frac{x}{y}\).

Skoro mamy dwie niewiadome, musimy ułożyć dwa równania. Będziemy teraz krok po kroku przechodzić przez treść zadania:

„Jeżeli do licznika” – u nas \(x\)-a, „i do mianownika” – u nas \(y\)-a, „nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika” – czyli połowę \(x\)-a, „to otrzymamy \(\large\frac{4}{7}\)”. Spróbujmy to zapisać po matematycznemu, pamiętając, że wyjściowy ułamek to \(\large\frac{x}{y}\):

\(\large\frac{x+0,5x}{y+0,5x}=\frac{4}{7}\)

Zgodnie z treścią zadania do licznika i mianownika dodałam połowę licznika (czyli \(0,5x\)). Czytamy dalej: „a jeżeli do licznika” – czyli \(x\)-a, „i do mianownika” – czyli \(y\)-a dodamy \(1\), to otrzymamy \(\large\frac{1}{2}\)”. Zapisuję to w formie równania:

\(\large\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}\)

Otrzymaliśmy dwa równania – tworzymy z nich układ równań:

\[ \left\{ \begin{array}{l} \large\frac{x+0,5x}{y+0,5x}=\frac{4}{7} \\ \large\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2} \end{array} \right. \]


Nie lubimy w równaniach ułamków, więc aby się ich pozbyć, wykonam mnożenie na skos (pisałam o tym tutaj).

\[ \left\{ \begin{array}{l} 1,5x\cdot 7=(y+0,5x)\cdot 4 \\ (x+1)\cdot 2=(y+1)\cdot 1 \end{array} \right. \]

Opuszczam nawiasy:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 10,5x=4y+2x \\ 2x+2=y+1 \end{array} \right. \]

Zastosuję metodę podstawiania. Najpierw wyznaczę \(y\) z drugiego równania:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 10,5x=4y+2x \\ 2x+2-1=y \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 10,5x=4y+2x \\ 2x+1=y \end{array} \right. \]

Następnie wstawiam wynik z drugiego równania (czyli \(2x+1\)) do pierwszego równania w miejsce \(y\) (pamiętaj o nawiasach!):

\[ \left\{ \begin{array}{l} 10,5x=4(2x+1)+2x \\ 2x+1=y \end{array} \right. \]

Rozwiązuję pierwsze równanie, drugie przepisując bez zmian:

\[ \left\{ \begin{array}{l} 10,5x=8x+4+2x \\ 2x+1=y \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 10,5x-8x-2x=4 \\ 2x+1=y \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 0,5x=4 \\ 2x+1=y \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x=4:0,5 \\ 2x+1=y \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x=8 \\ 2x+1=y \end{array} \right. \]

Udało się wyznaczyć \(x\). Podstawiam otrzymany wynik do drugiego równania:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=8 \\ 2\cdot 8+1=y \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x=8 \\ 16+1=y \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x=8 \\ 17=y \end{array} \right. \]

Naszym zadaniem było wyznaczenie ułamka, który, jak pamiętasz, miał postać \(\large\frac{x}{y}\).

Odpowiedź: Ten ułamek to \(\large\frac{8}{17}\)

Piątek

Zadanie 5/2015

Układ równań
\[ \left\{ \begin{array}{l} x-y=3 \\ 2x+0,5y=4 \end{array} \right. \] opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.

Gdy mamy układ dwóch równań liniowych (czyli takich, w których \(x\) i \(y\) są w pierwszej potędze), to mamy trzy możliwości: albo będzie to jedno rozwiązanie (czyli jeden punkt, w którym dwie proste się przecinają), albo nieskończenie wiele rozwiązań (wtedy mamy dwie proste, które się pokrywają), albo brak rozwiązań (gdy mamy dwie proste, które są równoległe i nigdy się nie przetną). Aby to sprawdzić, sprowadzamy oba równania do postaci \(y=ax+b\). Jeśli współczynnik \(a\) będzie różny w dwóch równaniach, to mamy jedno rozwiązanie. Jeśli współczynnik \(a\) w równaniach będzie taki sam, ale współczynnik \(b\) będzie różny, to mamy brak rozwiązań. Jeśli natomiast oba współczynniki są takie same, to mamy nieskończenie wiele rozwiązań.

Przekształcę najpierw pierwsze równanie. Po lewej stronie zostawiam \(y\), a po prawej resztę:

\[ \left\{ \begin{array}{l} -y=-x+3 \\ 2x+0,5y=4 \end{array} \right. \]

Teraz mnożę obustronnie przez \(-1\), zamieniając w ten sposób znaki:

\[ \left\{ \begin{array}{l} y=x-3 \\ 2x+0,5y=4 \end{array} \right. \]

Teraz drugie równanie. Zostawiam po lewej stronie tylko \(y\):

\[ \left\{ \begin{array}{l} y=x-3 \\ 0,5y=-2x+4 \end{array} \right. \]

Po lewej stronie mamy \(0,5y\). Aby otrzymać \(y\), pomnożę równanie przez \(2\), bo \(2\cdot 0,5=1\).

\[ \left\{ \begin{array}{l} y=x-3 \\ y=-4x+8 \end{array} \right. \]

Możemy teraz stwierdzić, że dla pierwszej funkcji współczynnik \(a\) jest równy \(1\), natomiast dla drugiej \(-4\). Są one różne, więc proste przecinają się w jednym punkcie. Poprawna jest zatem odpowiedź B.

Sobota

Zadanie 9/2018

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x-3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

A. \((-6,-3 )\)
B. \((-6,69)\)
C. \((3,-12 )\)
D. \((6,-3 ) \)

W tablicach znajdziemy informację, że wierzchołek paraboli ma współrzędne \((p,q)\), gdzie

\(p=\large\frac{-b}{2a}\)
\(q=\large\frac{-\Delta}{4a}\)

W naszej funkcji \(a=1\), \(b=-6\) i \(c=-3\). Podstawmy to do wzoru na pierwszą współrzędną:

\(p=\large\frac{-(-6)}{2\cdot 1}\)

\(p=\large\frac{6}{2}\)

\(p=3\)

W tym miejscu możemy skończyć liczenie, bo tylko w jednej odpowiedzi mamy współrzędną \(x\)-ową równą \(3\). Ja jednak będę nadgorliwa i policzę jeszcze drugą współrzędną. Potrzebujemy do tego delty. Skorzystamy ze wzoru:

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-3)\)

\(\Delta=36+12\)

\(\Delta=48\)

Podstawiamy to do wzoru na drugą współrzędną:

\(q=\large\frac{-48}{4\cdot 1}\)

\(q=-12\)

Poprawna jest zatem odpowiedź C.

Niedziela

Zadanie 29/2015

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle\).

Przedział, który nam podano to przedział argumentów (czyli \(x\)-ów). Mamy w wycinku funkcji o zadanych \(x\)-ach znaleźć najmniejszą i największą wartość. Funkcja kwadratowa „zbudowana” jest w taki sposób, że jeśli mamy zadany przedział, to najmniejsza i największa wartość może znajdować się jedynie w skrajnych punktach tego przedziału lub w wierzchołku paraboli, jeśli w tym przedziale się zawiera.

Najpierw obliczymy \(x\)-ową współrzędną wierzchołka i sprawdzimy, czy należy ona do przedziału \(\langle 0,4\rangle\). Wzór na tę współrzędną to

\(p=\large\frac{-b}{2a}\)

U nas \(a=1\) i \(b=-6\). Podstawiamy to do wzoru:

\(p=\large\frac{-(-6)}{2\cdot 1}\)

\(p=\large\frac{6}{2}\)

\(p=3\)

Ta liczba zawiera się w naszym przedziale – mamy więc do obliczenia wartości funkcji dla trzech argumentów: \(0\), \(3\) i \(4\) (dwa skrajne punkty w przedziale oraz wierzchołek paraboli). Aby obliczyć wartość funkcji, wystarczy podstawić dany argument w miejsce \(x\)-a we wzorze.

\(f(0) = 0^2-6\cdot 0+3=0-0+3=3\)

\(f(3) = 3^2-6\cdot 3+3=9-18+3=-6\)

\(f(4) = 4^2-6\cdot 4+3=16-24+3=-5\)

Widzimy, że w zadanym przedziale największa wartość funkcji to \(3\), natomiast najmniejsza wartość to \(-6\) – i tak brzmi odpowiedź.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!