Bez kategorii

Wyzwanie maturalne – tydzień 5

Cześć! Ten tydzień będzie tygodniem ciągów 🙂 Wiem, że spora część z Was za nimi nie przepada, więc żeby Wam za bardzo nie mieszać, wszystko będzie w jednym miejscu. Zagadnienia są następujące:

  • korzystanie ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego
  • suma ciągu arytmetycznego
  • własności ciągu arytmetycznego
  • korzystanie ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego
  • własności ciągu geometrycznego
  • sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny bądź geometryczny
  • nierówności kwadratowe

Na ostatni dzień przewidziane są nierówności kwadratowe. Myślę, że warto je sobie utrwalić, bo pojawiają się zawsze, a nie trzeba przy nich jakoś szczególnie myśleć.

Zasady wyzwania znajdziesz tu, zadania z poprzednich tygodni tu, tu, tu i tu, a karty wzorów tu. Wzory, które są napisane na środku wytłuszczonym drukiem, są dostępne w kartach wzorów, które dostaniesz na maturze.

Poniedziałek

Zadanie 12/2017

W ciągu arytmetycznym \((a_n )\), określonym dla \(n ≥1\), dane są: \(a_1 = 5\) , \(a_2 =11\). Wtedy

A. \(a_{14} = 71\)
B. \(a_{12} = 71 \)
C. \(a_{11} = 71 \)
D. \(a_{10} = 71\)

Jeśli spojrzysz na odpowiedzi to zobaczysz, że wartość wyrazu jest wszędzie taka sama – różnica jest w tym, który to wyraz. Musimy więc odnaleźć numer wyrazu.

Najpierw znajdę różnicę ciągu. Ciąg arytmetyczny ma taką własność, że każdy następny wyraz to poprzedni wyraz plus stała liczba. Tę liczbę oznaczamy jako \(r\) i nazywamy różnicą ciągu.

Skoro następny wyraz to poprzedni + różnica, to w szególności drugi wyraz to pierwszy wyraz + różnica – a zatem

\(a_2=a_1+r\)

Zarówno \(a_1\), jak i \(a_2\) mamy dane, a więc podstawiamy:

\(11=5+r\)

Rozwiązujemy równanie:

\(11-5=r\)

\(6=r\)

Znaleźliśmy różnicę ciągu, a więc możemy już zapisać, jaki wzór ma nasz ciąg. Ogólny wzór ciągu arytmetycznego wygląda tak:

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

U nas \(a_1=5\) i \(r=6\) – podstawiamy:

\(a_n=5+(n-1)\cdot 6\)

Mamy teraz sprawdzić, który wyraz ciągu jest równy \(71\). Jak zawsze opcje są dwie – możemy być sprytni albo pracowici. W pierwszym przypadku w miejsce \(a_n\) we wzorze wstawiamy \(71\) i wyznaczamy \(n\). W drugim – wyznaczamy po kolei \(a_{14}\), \(a_{12}\), \(a_{11}\) i \(a_{10}\), aż otrzymamy \(71\) – czyli po prostu sprawdzamy po kolei odpowiedzi. Ja zgodnie z postanowieniem, że będę pokazywać metody, które wymagają najmniej myślenia, wybiorę drugą opcję.

Najpierw wyznaczę \(a_{14}\). Aby to zrobić, biorę wzór naszego ciągu i w miejsce \(n\) wstawiam \(14\):

\(a_{14}=5+(14-1)\cdot 6\)

\(a_{14} = 5 + 13\cdot 6\)

\(a_{14} = 5 + 78\)

\(a_{14} = 83\)

Za dużo. Teraz obliczymy \(a_{12}\):

\(a_{12}=5+(12-1)\cdot 6\)

\(a_{12}=5+11\cdot 6\)

\(a_{12}=5+66\)

\(a_{12}=71\)

Otrzymaliśmy wynik, który jest w odpowiedziach – stąd poprawna jest odpowiedź B.

Wtorek

Zadanie 31/2018

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n )\), określonego dla \(n ≥1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zastanówmy się najpierw, co wiemy z zadania. Po pierwsze, dwunasty wyraz jest równy \(30\) – zatem \(a_{12}=30\). Wiemy też, że suma dwunastu wyrazów jest równa \(162\) – zatem \(S_{12}=162\).

Suma \(n\) wyrazów ciągu dana jest następującym wzorem:

\(S_n = \large\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

My mamy daną sumę dwunastu wyrazów, a więc w miejsce \(n\) wstawiamy \(12\):

\(S_{12} = \large\frac{a_1+a_{12}}{2}\cdot 12\)

Zapisaliśmy wcześniej, że \(a_{12}=30\) oraz że \(S_{12}=162\). Wstawmy to do naszego wzoru na sumę:

\(162 = \large\frac{a_1+30}{2}\cdot 12\)

Otrzymaliśmy równanie z niewiadomą \(a_1\) – szczęśliwie jest to akurat to, czego potrzebujemy, bo mamy wyznaczyć pierwszy wyraz. Zacznę od skracania:

\(162 = \large\frac{a_1+30}{\cancel{2}^1}\cdot \cancel{12}^6\)

\(162 = \large\frac{a_1+30}{1}\cdot 6\)

\(162 = (a_1+30)\cdot 6\)

Następnie pozbywam się nawiasów:

\(162 = 6a_1+180\)

Przerzucam liczby na jedną stronę:

\(162-180=6a_1\)

\(-18=6a_1\)

Dzielę przez to, co stoi przy niewiadomej, czyli przez \(6\):

\(-3=a_1\)

Odpowiedź: Pierwszy wyraz jest równy \(-3\).

Środa

Zadanie 12/2018

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n )\), określonego dla \(n ≥1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+ a_6=12\). Wtedy

A. \(a_5 = 4 \)
B. \( a_5 = 3 \)
C. \( a_5 = 6 \)
D. \( a_5 = 5\)

Jeśli w treści zadania pojawiają się trzy sąsiednie wyrazy ciągu, to od razu powinna Ci się przypomnieć pewna bardzo przyjemna własność ciągu arytmetycznego, a mianowicie: środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego. Czyli na przykład \(a_2=\large\frac{a_1+a_3}{2}\). Albo \(a_{120}=\large\frac{a_{119}+a_{121}}{2}\). W naszym zadaniu pojawiają się wyrazy \(a_4\), \(a_5\) i \(a_6\). Możemy zatem zapisać, że

\(a_5=\large\frac{a_4+a_6}{2}\)

Pozbądźmy się ułamka:

\(a_5\cdot 2=\large\frac{a_4+a_6}{2}\cdot 2\)

\(2a_5=\large\frac{a_4+a_6}{\cancel{2}^1}\cdot \cancel{2}^1\)

\(2a_5=a_4+a_6\)

Wróćmy do treści zadania. Wiemy, że \(a_4+a_5+ a_6=12\). Możemy trochę zmienić kolejność i zapisać to tak:

\(a_4+ a_6 +a_5=12\)

Jednocześnie wiemy, że \(a_4+a_6=2a_5\). Wstawię więc \(2a_5\) w miejsce \(a_4+a_6\):

\(2a_5 +a_5=12\)

Możemy z tego równania wyznaczyć \(a_5\):

\(3a_5=12\)

\(a_5=4\)

Poprawna jest więc odpowiedź A.

Czwartek

Zadanie 13/2018

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n )\), określony dla \(n ≥1\), w którym \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = 2 \sqrt{2}\), \(a_3 = 4\sqrt{ 2}\) . Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)
B. \(a_n=\large\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)
C. \(a_n=\large(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)
D. \(a_n=\large\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Mamy znaleźć wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu. Jest to ciąg geometryczny, a więc jego wzór ogólny wygląda tak:

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

Wiemy, że \(a_1 = \sqrt{2}\), więc możemy to wstawić do wzoru:

\(a_n=\sqrt{2}\cdot q^{n-1}\)

Brakuje nam jeszcze \(q\). Ciąg geometryczny ma taką właśność, że każdy kolejny wyraz to wyraz poprzedni pomnożony przez stałą liczbę, którą nazywamy ilorazem ciągu. Ten iloraz to właśnie \(q\). To znaczy, że \(a_1\cdot q = a_2\), \(a_2\cdot q=a_3\) itd. Znając \(a_1\) i \(a_2\) możemy więc znaleźć \(q\):

\(\sqrt{2}\cdot q = 2 \sqrt{2}\)

Jak pewnie widzisz, \(q=2\), bo \(\sqrt{2}\cdot 2 = 2 \sqrt{2}\). Możemy teraz wstawić \(q\) do wzoru na ciąg:

\(a_n=\sqrt{2}\cdot 2^{n-1}\)

W odpowiedziach nie ma takiego wzoru, więc musimy go trochę przekształcić. Zaczniemy od tego, że \(2^{n-1}\) to to samo, co \(2^n:2^1\), czyli \(\large\frac{2^n}{2}\). Wstawmy to zo wzoru:

\(a_n=\sqrt{2}\cdot \large\frac{2^n}{2}\)

Najbliżej mamy do odpowiedzi B, ponieważ w niej mamy \(2^n\), a jednocześnie \(\sqrt{2}\) nie jest podniesiony do żadnej potęgi. Aby wzory nam się zgadzały, brakuje nam pierwiastka z dwóch w mianowniku. Zamienię więc \(2\) na \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\) (jak pewnie pamiętasz, \(\sqrt{2}^2=2\)):

\(a_n=\sqrt{2}\cdot \large\frac{2^n}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\)

Widać teraz, że pierwiastki bardzo ładnie nam się skrócą:

\(a_n=\cancel{\sqrt{2}}^1\cdot \large\frac{2^n}{\sqrt{2}\cdot \cancel{\sqrt{2}}^1}\)

\(a_n=\large\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

Zgodnie z przypuszczeniami otrzymaliśmy wzór, który pojawia się w odpowiedzi B.

Piątek

Zadanie 15/2016

Ciąg \((x, 2x+3,4x+3 )\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. \(-4\)
B. \(1 \)
C. \(0 \)
D. \(-1\)

Jak pewnie pamiętasz, przy ciągu arytmetycznym mogliśmy skorzystać z własności dla trzech sąsiednich wyrazów. Przy ciągu geometrycznym też mamy taką własność, a wygląda ona tak: środkowy wyraz podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi poprzedniego i następnego wyrazu. Na przykład gdy mamy \(a_1\), \(a_2\) i \(a_3\), to \(a_2^2=a_1\cdot a_3\), a gdy mamy \(a_{25}\), \(a_{26}\) i \(a_{27}\), to \(a_{26}^2=a_{25}\cdot a_{27}\). My mamy podane trzy sąsiednie wyrazy, więc możemy skorzystać z tej zależności. Będzie to u nas wyglądało tak:

\((2x+3)^2=x\cdot(4x+3)\)

Mamy obliczyć pierwszy wyraz ciągu, czyli \(x\) – czyli musimy po prostu rozwiązać równanie. Najpierw opuścimy nawiasy. Po lewej stronie stosujemy wzór skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\((2x)^2+2\cdot 2x\cdot 3 +3^2=x\cdot(4x+3)\)

\(4x^2+12x+9=x\cdot(4x+3)\)

Po prawej stronie wymnażamy zawartość nawiasu przez \(x\):

\(4x^2+12x+9=4x^2+3x\)

Przenosimy \(x\)-y na lewą stronę:

\(4x^2-4x^2+12x-3x+9=0\)

Jak widzisz, wyrazy z \(x^2\) na szczęście się zredukują, a to oznacza, że mamy do rozwiązania zwykłe równanie liniowe:

\(\cancel{4x^2}-\cancel{4x^2}+12x-3x+9=0\)

\(12x-3x+9=0\)

Przerzucam liczbę na prawą stronę:

\(12x-3x=-9\)

\(9x=-9\)

\(x=-1\)

Otrzymaliśmy odpowiedź D.

Sobota

Zadanie 11/2018

Dany jest ciąg \(( a_n)\) określony wzorem \(a_n=\large\frac{5-2n}{6}\) dla \(n ≥ 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\large\frac{1}{3}\)
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r = −2\).
C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\large\frac{1}{3}\).
D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\large\frac{5}{6}\).

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny bądź geometryczny, musimy wyznaczyć \(a_{n+1}\). Aby to zrobić, bierzemy wzór ciągu i w miejsce \(n\) wstawiamy \(n+1\). Pamiętaj przy tym o nawiasach:

\(a_{n+1}=\large\frac{5-2(n+1)}{6}\)

Możemy to trochę uprościć, pozbywając się nawiasów:

\(a_{n+1}=\large\frac{5-2n-2}{6}\)

\(a_{n+1}=\large\frac{3-2n}{6}\)

Teraz tak: jeśli ciąg jest arytmetyczny, to posiada on różnicę ciągu, która jest stałą liczbą. Wyznaczamy ją ze wzoru:

\(r=a_{n+1}-a_n\)

Jeśli \(r\) będzie liczbą, to znaczy, że ciąg jest arytmetyczny, natomiast jeśli będzie tam występowało \(n\), to nie jest to ciąg arytmetyczny.

Jeśli natomiast ciąg jest geometryczny, to posiada on iloraz ciągu, który jest stałą liczbą. Wyznaczamy go ze wzoru:

\(q=\large\frac{a_{n+1}}{a_n}\)

I podobnie, jeśli \(q\) będzie liczbą, to jest to ciąg geometryczny, jeśli zaś będzie tam występowało \(n\), to nie jest.

Sprawdzanie zacznę od obliczenia \(r\), bo jest to prostsze niż obliczenie \(q\). W miejsce \(a_n\) wstawiam \(\large\frac{5-2n}{6}\), natomiast w miejsce \(a_{n+1}\) wstawiam \(\large\frac{3-2n)}{6}\):

\(r=a_{n+1}-a_n=\large\frac{3-2n}{6}-\frac{5-2n}{6}\)

Mamy wspólny mianownik, więc wszystko możemy zapisać w postaci jednego ułamka. Pamiętaj, że drugi ułamek jest odejmowany, a więc muszą pojawić się nawiasy:

\(r=\large\frac{3-2n-(5-2n)}{6}\)

Pozbywam się nawiasów i porządkuję wyrażenie:

\(r=\large\frac{3-2n-5+2n}{6}\)

\(r=\large\frac{3\cancel{-2n}-5+\cancel{2n}}{6}\)

\(r=\large\frac{3-5}{6}\)

\(r=\large\frac{-2}{6}\)

\(r=\large\frac{-\cancel{2}^1}{\cancel{6}^3}\)

\(r=\large\frac{-1}{3}\)

Jak widzisz, wszystkie \(n\)-y nam się zredukowały i została sama liczba – to znaczy, że ciąg jest arytmetyczny. Jego różnica to \(r=\large\frac{-1}{3}\). Stąd poprawna jest odpowiedź A.

Niedziela

Zadanie 26/2015

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x>(x+3)(x-2)\).

Jak zawsze, zaczynamy od pozbycia się nawiasów. Aby to zrobić, wymnażamy każdy czynnik z pierwszego nawiasu z każdym czynnikiem z drugiego nawiasu:

\(2x^2-4x>x\cdot x -x\cdot 2+3\cdot x-3\cdot 2\)

Porządkuję prawą stronę:

\(2x^2-4x>x^2 -2x+3x-6\)

Przerzucamy teraz wszystko na lewą stronę, aby po prawej stronie otrzymać zero:

\(2x^2-4x-x^2+2x-3x+6>0\)

Dodaję wyrazy podobne:

\(x^2-5x+6>0\)

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Początek jest podobny jak przy równaniach – wyznaczamy deltę i rozwiązania:

\(\Delta = b^2-4ac\)

U nas \(a=1\), \(b=-5\) i \(c=6\) – postawiamy do wzoru:

\(\Delta = (-5)^2-4\cdot 1\cdot 6\)

Wykonujemy działania:

\(\Delta = 25-24\)

\(\Delta=1\)

Delta wyszła dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania. Dane są one wzorami

\(x_1=\large\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2=\large\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Podstawiamy:

\(x_1=\large\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\large\frac{5-1}{2}\)

\(x_1=\large\frac{4}{2}\)

\(x_1=2\)

Analogicznie wyznaczamy drugie rozwiązanie:

\(x_2=\large\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}\)

\(x_2=\large\frac{5+1}{2}\)

\(x_2=\large\frac{6}{2}\)

\(x_2=3\)

Teraz sprawa jest trochę bardziej skomplikowana niż przy równaniach. Rysujemy oś i zaznaczamy na niej te dwa rozwiązania:

Następnie rysujemy parabolę przechodzącą przez te dwa punkty. Jeśli \(a\) jest dodatnie, to ramiona paraboli są skierowane do góry, natomiast jeśli jest ujemne, to do dołu. U nas \(a=1\), więc ramiona idą do góry:

I teraz: jeśli nasza funkcja kwadratowa ma być większa od zera, to zamalowujemy obszar funkcji, który jest nad osią, natomiast jeśli ma być mniejsza od zera, to zamalowujemy obszar funkcji, która jest pod osią. Dla przypomnienia, nasza nierówność wygląda tak: \(x^2-5x+6>0\) – funkcja ma być większa od zera, więc zamalowujemy ten oszar funkcji który jest nad osią:

Teraz od zamalowanego fragmentu paraboli prowadzimy pionowe kreski w kierunku osi:

Dzięki temu rysunkowi możemy określić zbiór rozwiązań: \(x\in (-\infty;2)\cup(3;+\infty)\). Nawiasy są okrągłe, ponieważ mamy ostrą nierówność (bez takiej kreseczki na dole). Gdyby ta kreseczka wystąpiła (o taka – \(\geq\)), to mielibyśmy nawiasy „dzióbkowate”.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!