Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

Jeśli zerkniesz do karty wzorów dostępnych na maturze, to zobaczysz, że mamy tam siedem wzorów plus wzór ogólny plus kilka wzorów dla szczególnych przypadków. Ty jednak nie musisz się tym przejmować, bo zgodnie z podstawą programową obowiązują Cię tylko trzy wzory – te, które najpewniej znasz jeszcze z gimnazjum. Cała trudność polega tak naprawdę nie na tym, by umieć użyć tych wzorów, tylko na tym, by pamiętać, że trzeba ich użyć.

Po co nam w ogóle te wzory? Spójrzmy na taki przykład: \((4+5)^2\). W takiej sytuacji, zgodnie z kolejnością wykonywania działań, najpierw wykonalibyśmy dodawanie (bo jest w nawiasie), a potem potęgowanie. Zatem \((4+5)^2=9^2=81\). Co jednak w sytuacji, gdy mamy do wykonania takie działanie: \((4+\sqrt{3})^2\)? Albo takie: \((5+2x)^2\)? W tej sytuacji nie możemy najpierw wykonać dodawania i właśnie wtedy stosujemy wzory skróconego mnożenia. Pozwalają nam one obejść kolejność wykonywania działań.

Pierwszy wzór wygląda następująco:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Co z niego wynika? Przede wszystkim to, że \((4+x)^2\) to nie jest \(16+x^2\)! Jeśli spojrzymy na wzór, a konkretnie jego lewą stronę, to widzimy, że \(a\) jest w tym przypadku równe \(4\), a \(b\) jest równe \(x\). Podstawiamy to do prawej strony wzoru:

\((4+x)^2=4^2+2\cdot4\cdot x +x^2\)

Możemy to uporządkować:

\(4^2+2\cdot4\cdot x +x^2=16 + 8x +x^2\)

Inny przykład: \((2+\sqrt{5})^2\). Tym razem \(a=2\), natomiast \(b=\sqrt{5}\). Podstawiamy to do wzoru, a następnie porządkujemy:

\((2+\sqrt{5})^2=2^2+2\cdot 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}^2=4+4\sqrt{5}+5=9+4\sqrt{5}\)

Pamiętajmy przy tym, że liczby i pierwiastka nie dodajemy (pisałam o tym tutaj).

Drugi wzór jest bardzo podobny i wygląda tak:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Przećwiczmy go na przykładzie. Opuśćmy nawiasy w wyrażeniu \((2x-4)^2\). W tym przykładzie \(a = 2x\), natomiast \(b=4\). Podstawiamy to do wzoru:

\((2x-4)^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 4 +4^2\)

Zwróć uwagę, że \(2x\) przy potęgowaniu wzięłam w nawias. Gdybym tego nie zrobiła, podniosłabym do potęgi jedynie \(x\). Teraz porządkuję wyrażenie:

\((2x)^2-2\cdot 2x\cdot 4 +4^2=4x^2-16x+16\)

Inny przykład: \((-2\sqrt{3}+3)^2\). Widzimy, że postać jest nieco inna, niż we wzorze. Wystarczy jednak zamienić kolejność czynników w nawiasie, by było tak, jak potrzebujemy. Pamiętaj, że gdy w wyrażeniu zamieniamy kolejność czynników, to robimy to razem ze znakiem, który stoi przed danym czynnikiem. Czyli \((-2\sqrt{3}+3)^2\) możemy zapisać jako \((3-2\sqrt{3})^2\). Teraz widać, że \(a=3\), natomiast \(b=2\sqrt{3}\). Podstawiamy to do wzoru:

\((3-2\sqrt{3})^2=3^2-2\cdot3\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2\)

Zauważ, że przy potęgowaniu \(2\sqrt{3}\) więłam w nawiasy. Tak, jak poprzednio, gdybym tego nie zrobiła, potęgowałabym jedynie \(\sqrt{3}\). Porządkuję wyrażenie:

\(3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=9-12\sqrt{3}+4\cdot 3 = 9-12\sqrt{3}+12 = 21-12\sqrt{3}\)

Trzeci wzór wygląda tak:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Nie będę się na tym wzorze jakoś bardzo skupiać, bo chociaż jest on przydatny, to bez jego znajomości również można sobie bardzo dobrze poradzić.

Weźmy taki przykład: \((3x+6)(3x-6)\). W stosunku do wzoru kolejność nawiasów jest zamieniona, ale nie jest to istotne, bo mnożenie jest przemienne – ważne, by w obu nawiasach były takie same liczby i by w jednym był plus, a w drugim minus. W tym wypadku \(a=3x\), natomiast \(b=6\). Podstawiamy do wzoru:

\((3x+6)(3x-6)=(3x)^2-6^2=9x^2-36\)

Takie zastosowanie wzorów skróconego mnożenia przydaje się wszędzie tam, gdzie mamy przekształcenia wyrażeń algebraicznych. Zazwyczaj gdy mamy nawiasy, chcemy się ich jak najszybciej pozbyć i właśnie tam wzory skróconego mnożenia są przydatne.

Wzory te można stosować również w drugą stronę – czyli wtedy, gdy na przykład mamy wyrażenie postaci \(a^2+ 2ab +b^2\) i chcemy je zamienić na wyrażenie postaci \((a+b)^2\). Jest to niezbędne przy dowodach – ale o tym za jakiś czas 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!