Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

Jeśli zerkniesz do karty wzorów dostępnych na maturze, to zobaczysz, że mamy tam siedem wzorów plus wzór ogólny plus kilka wzorów dla szczególnych przypadków. Ty jednak nie musisz się tym przejmować, bo zgodnie z podstawą programową obowiązują Cię tylko trzy wzory – te, które najpewniej znasz jeszcze z gimnazjum. Cała trudność polega tak naprawdę nie na tym, by umieć użyć tych wzorów, tylko na tym, by pamiętać, że trzeba ich użyć.

Po co nam w ogóle te wzory? Spójrzmy na taki przykład: \((4+5)^2\). W takiej sytuacji, zgodnie z kolejnością wykonywania działań, najpierw wykonalibyśmy dodawanie (bo jest w nawiasie), a potem potęgowanie. Zatem \((4+5)^2=9^2=81\). Co jednak w sytuacji, gdy mamy do wykonania takie działanie: \((4+\sqrt{3})^2\)? Albo takie: \((5+2x)^2\)? W tej sytuacji nie możemy najpierw wykonać dodawania i właśnie wtedy stosujemy wzory skróconego mnożenia. Pozwalają nam one obejść kolejność wykonywania działań.

W tym poście zajmę się właśnie takim ich zastosowaniem – gdy mamy nawiasy i chcemy się ich pozbyć. Jest to zastosowanie zdecydowanie najczęstsze (ale nie jedyne).

________________________________________________

Pierwszy wzór wygląda następująco:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Co z niego wynika? Przede wszystkim to, że \((4+x)^2\) to nie jest \(16+x^2\)! Jeśli spojrzymy na wzór, a konkretnie jego lewą stronę, to widzimy, że \(a\) jest w tym przypadku równe \(4\), a \(b\) jest równe \(x\). Podstawiamy to do prawej strony wzoru:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((4+x)^2=4^2+2\cdot4\cdot x +x^2\)

Możemy to uporządkować:

\(4^2+2\cdot4\cdot x +x^2=16 + 8x +x^2\)

W ten sposób pozbyliśmy się nawiasów. Inny przykład: \((2+\sqrt{5})^2\). Tym razem \(a=2\), natomiast \(b=\sqrt{5}\). Podstawiamy to do wzoru, a następnie porządkujemy:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((2+\sqrt{5})^2=2^2+2\cdot 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}^2=4+4\sqrt{5}+5=9+4\sqrt{5}\)

Pamiętaj przy tym, że liczby całkowitej i pierwiastka nie dodajemy (pisałam o tym tutaj).

Czasami może być tak, że nie od razu widać, że możemy zastosować ten wzór. Możemy mieć na przykład takie wyrażenie: \((-2x-5)^2\). Choć nie ma to postaci \((a+b)^2\), to właśnie ten wzór zastosujemy. W jaki sposób?

W wyrażeniu \((-2x-5)^2\) przy obu członach mamy minus – możemy go więc wyciągnąć przed nawias:

\((-2x-5)^2=[-(2x+5)]^2\)

Ujemna liczba podniesiona do parzystej potęgi zamienia się w dodatnią, więc ten minus po prostu zniknie:

\([-(2x+5)]^2=(2x+5)^2\)

W ten sposób uzyskaliśmy formę \((a+b)^2\) i możemy zastosować wzór:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((2x+5)^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2=4x^2+20x+25\)

Zwróć uwagę, że \(2x\) przy potęgowaniu wzięłam w nawias. Gdybym tego nie zrobiła, podniosłabym do potęgi jedynie \(x\).

Inny przykład: \((-\sqrt6 -3)^2\). Zacznę od wyłączenia minusa przed nawias:

\((-\sqrt6 -3)^2=[-(\sqrt6+3)]^2\)

Minus podniesiony do kwadratu znika, więc możemy się go po prostu pozbyć i dalej zastosować wzór skróconego mnożenia:

\([-(\sqrt6+3)]^2=(\sqrt6+3)^2=\sqrt6^2+2\cdot \sqrt6\cdot3+3^3=6+6\sqrt6+9=15+6\sqrt6\)

________________________________________________

Drugi wzór jest bardzo podobny i wygląda tak:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Przećwiczmy go na przykładzie. Opuśćmy nawiasy w wyrażeniu \((2x-4)^2\). W tym przykładzie \(a = 2x\), natomiast \(b=4\). Podstawiamy to do wzoru:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((2x-4)^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 4 +4^2\)

Teraz porządkuję wyrażenie:

\((2x)^2-2\cdot 2x\cdot 4 +4^2=4x^2-16x+16\)

Inny przykład: \((\sqrt2-\large\frac{2}{3}\)\()^2\). W tym wypadku \(a=\sqrt2\), natomiast \(b=\large\frac{2}{3}\). Podstawiamy do wzoru, a następnie porządkujemy wyrażenie:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((\sqrt2-\large\frac{2}{3}\)\()^2=\sqrt2^2-2\cdot\sqrt2\cdot\large\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})\)\(^2=2-\large\frac{4}{3}\)\(\sqrt2+\large\frac{4}{9}\)\(=2\large\frac{4}{9}-\frac{4}{3}\)\(\sqrt2\)

Podobnie jak przy pierwszym wzorze, czasem to, że możemy z niego skorzystać, nie jest takie oczywiste. Weźmy \((-2\sqrt{3}+3)^2\). Widzimy, że postać jest nieco inna, niż we wzorze. Wystarczy jednak zamienić kolejność czynników w nawiasie, by było tak, jak potrzebujemy. Pamiętaj, że gdy w wyrażeniu zamieniamy kolejność czynników, to robimy to razem ze znakiem, który stoi przed danym czynnikiem. Czyli \((-2\sqrt{3}+3)^2\) możemy zapisać jako \((3-2\sqrt{3})^2\). Teraz widać, że \(a=3\), natomiast \(b=2\sqrt{3}\). Podstawiamy to do wzoru:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((3-2\sqrt{3})^2=3^2-2\cdot3\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2\)

Zauważ, że przy potęgowaniu \(2\sqrt{3}\) więłam w nawiasy. Gdybym tego nie zrobiła, potęgowałabym jedynie to, co stoi bezpośrednio przy kwadracie, czyli \(\sqrt{3}\). Porządkuję wyrażenie:

\(3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=9-12\sqrt{3}+4\cdot 3 = 9-12\sqrt{3}+12 = 21-12\sqrt{3}\)

________________________________________________

Trzeci wzór wygląda tak:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Jeśli chodzi o lewą stronę wzoru, to tu mamy tylko jedną z możliwości. Może ona równie dobrze wyglądać tak:

  • \((a+b)(a-b)\)
  • \((b+a)(a-b)\)
  • \((a-b)(b+a)\)
  • \((b+a)(-b+a)\)

Pewnie kilka możliwości jeszcze pominęłam. W każdym z tych przypadków jest to ten sam wzór (wynika to z przemienności mnożenia i dodawania). Chodzi po prostu o to, żebyśmy mieli dwa nawiasy, w obu nawiasach dwa takie same człony, a dodatkowo w jednym z nawiasów jeden minus. Wtedy człon, przed którym nie ma minusa oznaczamy jako \(a\), natomiast człon, przed którym jest minus, oznaczamy jako \(b\).

Weźmy taki przykład: \((3x+6)(3x-6)\). W tym wypadku \(a=3x\) (bo przed \(3x\) nie ma minusa), natomiast \(b=6\) (bo przed szóstką jest minus). Podstawiamy do wzoru:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

\((3x+6)(3x-6)=(3x)^2-6^2=9x^2-36\)

Inny przykład: \((-\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt3+\sqrt2)\). W obu nawiasach mamy takie same człony (\(\sqrt2\) oraz \(\sqrt3\)) i w jednym z nawiasów mamy jeden minus – wszystko gra, możemy zastosować wzór. Jako \(a\) oznaczamy ten człon, przy którym w żadnym z nawiasów nie ma minusa: \(a=\sqrt3\). Jako \(b\) oznaczamy człon, przy którym jest minus: \(b=\sqrt2\). Podstawiamy do wzoru:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

\((-\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt3+\sqrt2)=\sqrt3^2-\sqrt2^2=3-2=1\)

W razie gdybyś miał w trakcie kartkówki/sprawdzianu/czegokolwiek chwilowe zaciemnienie umysłu i nie potrafił zastosować tego wzoru, to nie ma tragedii – wystarczy po prostu wymnożyć przez siebie nawiasy i wyjdzie na to samo, zajmie po prostu odrobinę więcej czasu.

________________________________________________

Wzory te można stosować również w drugą stronę – czyli wtedy, gdy mamy wyrażenie bez nawiasów, a chcemy, by te nawiasy się pojawiły. Jest to niezbędne przy wielu zadaniach dowodowych, a ułatwia życie również w innych przypadkach – ale o tym za jakiś czas 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!