Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

Wzorów skróconego mnożenia w tablicach mamy siedem plus wzór ogólny plus kilka wzorów dla szczególnych przypadków. Ty jednak nie musisz się tym przejmować, bo zgodnie z podstawą programową obowiązują Cię tylko trzy wzory – te, które znasz jeszcze z gimnazjum. Cała trudność polega tak naprawdę nie na tym, by umieć użyć tych wzorów, tylko na tym, by pamiętać, że trzeba ich użyć.

Po co nam w ogóle te wzory? Spójrzmy na taki przykład: \((4+5)^2\). W takiej sytuacji, zgodnie z kolejnością działań, najpierw wykonalibyśmy dodawanie (bo jest w nawiasie), a potem potęgowanie. Zatem \((4+5)^2=9^2=81\). Co jednak w sytuacji, gdy mamy do wykonania takie działanie: \((4+\sqrt{3})^2\)? Albo takie: \((5+2x)^2\)? W tej sytuacji nie możemy najpierw wykonać dodawania i właśnie wtedy stosujemy wzory skróconego mnożenia. Pozwalają nam one obejść kolejność wykonywania działań.

Pierwszy wzór wygląda następująco:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Co z niego wynika? Przede wszystkim to, że \((4+x)^2\) to nie jest \(16+x^2\)! Jeśli spojrzymy na wzór, a konkretnie jego lewą stronę, to widzimy, że \(a\) jest w tym przypadku równe \(4\), a \(b\) jest równe \(x\). Podstawiamy to do prawej strony wzoru:

\((4+x)^2=4^2+2\cdot4\cdot x +x^2\)

Możemy to uporządkować:

\(4^2+2\cdot4\cdot x +x^2=16 + 8x +x^2\)

Inny przykład: \((2+\sqrt{5})^2\). Tym razem \(a=2\), natomiast \(b=\sqrt{5}\). Podstawiamy to do wzoru, a następnie porządkujemy:

\((2+\sqrt{5})^2=2^2+2\cdot 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}^2=4+4\sqrt{5}+5=9+4\sqrt{5}\)

Pamiętajmy przy tym, że liczby i pierwiastka nie dodajemy (pisałam o tym tutaj).

Drugi wzór jest bardzo podobny i wygląda tak:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Przećwiczmy go na przykładzie. Opuśćmy nawiasy w wyrażeniu \((2x-4)^2\). W tym przykładzie \(a = 2x\), natomiast \(b=4\). Podstawiamy to do wzoru:

\((2x-4)^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 4 +4^2\)

Zwróć uwagę, że \(2x\) przy potęgowaniu wzięłam w nawias. Gdybym tego nie zrobiła, podniosłabym do potęgi jedynie \(x\). Teraz porządkuję wyrażenie:

\((2x)^2-2\cdot 2x\cdot 4 +4^2=4x^2-16x+16\)

Inny przykład: \((-2\sqrt{3}+3)^2\). Widzimy, że postać jest nieco inna, niż we wzorze. Wystarczy jednak zamienić kolejność czynników w nawiasie, by było tak, jak potrzebujemy. Pamiętaj, że gdy w wyrażeniu zamieniamy kolejność czynników, to robimy to razem ze znakiem, który stoi przed danym czynnikiem. Czyli \((-2\sqrt{3}+3)^2\) możemy zapisać jako \((3-2\sqrt{3})^2\). Teraz widać, że \(a=3\), natomiast \(b=2\sqrt{3}\). Podstawiamy to do wzoru:

\((3-2\sqrt{3})^2=3^2-2\cdot3\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2\)

Zauważ, że przy potęgowaniu \(2\sqrt{3}\) więłam w nawiasy. Tak, jak poprzednio, gdybym tego nie zrobiła, potęgowałabym jedynie \(\sqrt{3}\). Porządkuję wyrażenie:

\(3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=9-12\sqrt{3}+4\cdot 3 = 9-12\sqrt{3}+12 = 21-12\sqrt{3}\)

Trzeci wzór wygląda tak:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Nie będę się na tym wzorze jakoś bardzo skupiać, bo chociaż jest on przydatny, to bez jego znajomości również można sobie bardzo dobrze poradzić.

Weźmy taki przykład: \((3x+6)(3x-6)\). W stosunku do wzoru kolejność nawiasów jest zamieniona, ale nie jest to istotne, bo mnożenie jest przemienne – ważne, by w obu nawiasach były takie same liczby i by w jednym był plus, a w drugim minus. W tym wypadku \(a=3x\), natomiast \(b=6\). Podstawiamy do wzoru:

\((3x+6)(3x-6)=(3x)^2-6^2=9x^2-36\)

Takie zastosowanie wzorów skróconego mnożenia przydaje się wszędzie tam, gdzie mamy przekształcenia wyrażeń algebraicznych. Zazwyczaj gdy mamy nawiasy, chcemy się ich jak najszybciej pozbyć i właśnie tam wzory skróconego mnożenia są przydatne.

Wzory te można stosować również w drugą stronę – czyli wtedy, gdy na przykład mamy wyrażenie postaci \(a^2+ 2ab +b^2\) i chcemy je zamienić na wyrażenie postaci \((a+b)^2\). Jest to niezbędne przy dowodach – ale o tym za jakiś czas 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorze

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!