Wyrażenia algebraiczne

Zadania dowodowe z wyrażeń algebraicznych – nierówności

Wyrażenia algebraiczne to jeden z dwóch działów, w których zdecydowanie najczęściej pojawiają się zadania dowodowe na maturze (drugi to planimetria). Oczywiście kreatywność twórców zadań jest nieograniczona i nigdy nie wiadomo, co nam się trafi, prawda jest jednak taka, że istnieje kilka typów zadań dowodowych, które egzaminatorzy jakoś szczególnie darzą sympatią.

W tym poście skupię się na zadaniach związanych nierównościami. Po pierwsze dlatego, że na maturze pojawiały się najczęściej, po drugie – są najbardziej schematyczne, więc najłatwiej je ogarnąć.

Na początku ważna uwaga: bardzo dużo zadań dowodowych z algebry wymaga sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia. A już w zadaniach z nierównościami wzory skróconego mnożenia to absolutny must-have. Dlatego jeśli podczas przerabiania tego wpisu pojawi Ci się w głowie taka myśl, że ni cholery nie wpadłbyś na to, że tu można było użyć wzoru skróconego mnożenia, to przejdź do tego i tego posta (zwłaszcza do drugiego).

Dla porządku przypomnę te wzory:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

__________________________________________________________

Zacznijmy od tego, na czym w ogóle polega dowodzenie.

Są takie zdania, o których wiemy, że są zawsze prawdziwe (bo ktoś mądry przed nami to udowodnił i weszło to do wiedzy powszechnej). Na przykład: „Wszystkie małe i puchate zwierzątka są urocze” – to jest twierdzenie. Powiedzmy, że Twój kumpel zoolog zawiązuje Ci oczy, daje do rąk jakieś dziwne, ruszające się coś i mówi: „Pręgowiec amerykański, którego masz w rękach, to zwierzątko. Udowodnij, że jest uroczy” – to jest treść zadania. Zdanie „Pręgowiec amerykański jest uroczy” to teza, której prawdziwość chcemy wykazać. Aby to zrobić, możemy użyć:

  • twierdzenia: „Wszystkie małe i puchate zwierzątka są urocze”;
  • informacji z treści zadania: „Masz w rękach pręgowca amerykańskiego” oraz „Pręgowiec amerykański to zwierzątko”;
  • swoich obserwacji: „Czuję, że pręgowiec amerykański jest puchaty” oraz „Pręgowiec amerykański mieści się w moich dłoniach”;
  • zasad wnioskowania: „Skoro pręgowiec amerykański mieści się w moich dłoniach, to znaczy, że jest mały” oraz „Skoro pręgowiec amerykański jest mały, puchaty i jest zwierzątkiem, a jednocześnie wszystkie małe i puchate zwierzątka są urocze, to pręgowiec amerykański na pewno jest uroczy”.

W ten sposób udowodniliśmy, że zdanie „Pręgowiec amerykański jest uroczy” jest prawdziwe, choć nie mogliśmy tego zobaczyć.

Zwróć uwagę, że do dowodzenia nie używaliśmy tezy – bez sensu byłoby, gdybyśmy udowadniając, że pręgowiec jest uroczy, podparli się stwierdzeniem, że pręgowiec jest uroczy. Nie znaczy to jednak, że z tezą nie możemy nic robić – możemy ją przekształcać w taki sposób, żeby dalej znaczyła to samo (na przykład: „Cechą pręgowca amerykańskiego jest urok”) i dążyć do udowodnienia tej przekształconej tezy zamiast wyjściowej.

Na marginesie: pręgowiec amerykański naprawdę jest uroczy

Autor: Gilles Gonthier / Źródło / Licencja CC BY 2.0

Ok, to teraz pokażę Ci, jak te same reguły przenieść na zadanie.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) zachodzi nierówność

\(x^2-2xy+y^2\geq 0\)

Zaczynamy od tego, że sprawdzamy, co wiemy z zadania oraz co jest naszą tezą – czyli tym, co chcemy udowodnić.

„\(x\) i \(y\) to liczby rzeczywiste (czyli dowolne)” – to są informacje z zadania.

„Nierówność \(x^2-2xy+y^2\geq 0\) jest prawdziwa” – to jest teza, którą chcemy udowodnić. Nie możemy z niej tezy korzystać w trakcie dowodzenia, ale możemy ją dowolnie przekształcać (oczywiście w ramach działań dozwolonych w matematyce) i udowodnić tę przekształconą tezę, jeśli tak jest nam wygodniej. Za chwilę będziemy to robić.

Twierdzenie, z którego będziemy chcieli skorzystać (korzystamy z niego w większości zadań na dowodzenie z nierówności) brzmi następująco: „Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze większy lub równy zero”. Jest to zdanie zawsze prawdziwe, bo czy weźmiemy liczbę ujemną, czy dodatnią, po podniesieniu do kwadratu otrzymamy liczbę dodatnią (np. \(2^2=4\) jest liczbą dodatnią, ale także \((-2)^2=4\) to liczba dodatnia).

Jeśli przedstawimy wyrażenie \(x^2-2xy+y^2\) w postaci kwadratu, to wykażemy, że jest ono większe lub równe zero (czyli udowodnimy naszą tezę). I tu z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia.

Zauważ, że wyrażenie \(x^2-2xy+y^2\) ewidentnie pasuje nam do tego wzoru:

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Skoro tak, to używając go możemy zapisać nasze wyrażenie w innej postaci:

\(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)

To oznacza, że nasza teza, która wygląda tak:

„Nierówność \(x^2-2xy+y^2\geq 0\) jest prawdziwa”

jest równoważna takiej tezie:

„Nierówność \((x-y)^2\geq 0\) jest prawdziwa”

Nie zmieniliśmy znaczenia tezy – to jest cały czas ta sama nierówność, tylko w innej postaci („Pręgowiec amerykański jest uroczy.” vs „Cechą pręgowca amerykańskiego jest urok.”), możemy więc w dalszej części dowodzić, że nasza „nowa teza” jest prawdziwa.

To teraz najtrudniejsza część: obserwacje własne i wnioskowanie 😀

Zauważamy, że \((x-y)\) to jakaś liczba (bo \(x\) i \(y\) to jakieś liczby, więc ich różnica też jest liczbą; np. \(5\) to liczba i \(3\) to liczba, a ich różnica \(5-3\) to \(2\), a \(2\) też jest liczbą).

Następna obserwacja: skoro \((x-y)\) to jakaś liczba, to \((x-y)^2\) to kwadrat jakiejś liczby.

Wniosek: Skoro \((x-y)^2\) to kwadrat jakiejś liczby, to jest on zawsze większy lub równy zero.

Dowiedliśmy, że nierówność \((x-y)^2\geq 0\) jest prawdziwa, a tym samym, że nierówność \(x^2-2xy+y^2\geq 0\) jest prawdziwa.

Pamiętaj, że warto zapisać słownie wniosek – chodzi o to, by nauczyciel wiedział, że Ty wiesz, że taka postać wyrażenia kończy dowód, a nie że zostawiłeś to w tym miejscu, bo nie wiedziałeś, co dalej 😉

Oczywiście nie musisz na klasówce czy egzaminie pisać takiego elaboratu, jaki ja napisałam tutaj (aczkolwiek możesz, jeśli masz takie życzenie – na matematyce możesz używać także słów, a nie tylko znaków i liczb). Rozwiązanie tego zadania można zapisać na przykład tak:

____________

Teza: \(x^2-2xy+y^2\geq 0\)

\(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)

\((x-y)^2\geq 0\)

Nierówność \(x^2-2xy+y^2\geq 0\) jest równoważna nierówności \((x-y)^2\geq 0\), a ona jest zawsze prawdziwa, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero.

____________

I tyle 🙂

Tutaj wzór skróconego mnożenia aż kłuł w oczy. Teraz coś odrobinę trudniejszego:

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) zachodzi nierówność

\(a^2+9b^2\geq 6ab\)

Najpierw patrzymy, co wiemy z zadania. Tak jak poprzednio, wiemy, że liczby mogą być dowolne.

Teraz patrzymy, co mamy udowodnić. Mamy udowodnić, że nierówność \(a^2+9b^2\geq 6ab\) jest prawdziwa – to jest nasza teza. Tak jak mówiłam, tezę możemy przekształcić (oczywiście zgodnie z regułami matematycznymi) i udowodnić tę przekształconą tezę. Ja tak teraz zrobię. Przenosimy wszystko na jedną stronę, by mieć nierówność typu „cośtam jest większe od zera”:

\(a^2+9b^2-6ab\geq 0\)

Zamienię sobie jeszcze kolejność, by to wyrażenie pasowało mi do wzoru skróconego mnożenia.

\(a^2-6ab+9b^2\geq 0\)

Teraz wyrażenie po lewej stronie pasuje nam do wzoru:

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Nasze wyrażenie, czyli \(a^2-6ab+9b^2\) możemy zapisać tak: \(a^2-2\cdot a\cdot3b+(3b)^2\). Zestawmy sobie je teraz ze wzorem:

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(a^2-2\cdot a\cdot3b+(3b)^2=(a-3b)^2\)

Jeśli to było dla Ciebie za szybko, to tutaj wyjaśniam to bardzo szczegółowo.

Skoro \(a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2\), to naszą nierówność z tezy możemy zapisać tak:

\((a-3b)^2\geq 0\)

Jest to cały czas ta sama teza, tylko zapisana w inny sposób.

Teraz zauważamy, że \((a-3b)\) to jakaś liczba, więc \((a-3b)^2\) to kwadrat jakiejś liczby.

Skoro wyrażenie \((a-3b)^2\) jest kwadratem jakiejś liczby, to jest ono zawsze większe lub równe zero, a to znaczy, że nasza nierówność jest prawdziwa.

Wersja skrócona:

__________

Teza: \(a^2+9b^2\geq 6ab\)

\(a^2-6ab+9b^2\geq 0\)

\(a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2\)

\((a-3b)^2\geq 0\)

Nierówność \(a^2+9b^2\geq 6ab\) jest równoważna nierówności \((a-3b)^2\geq 0\), a ona jest zawsze prawdziwa, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero.

__________

Teraz kolejne zadanie. W nim zastosowanie wzoru skróconego mnożenia nie będzie takie oczywiste. Zwróć uwagę na założenia – w poprzednich zadaniach liczby były dowolne, tu jednak będzie inaczej.

Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą ujemną, to

\(a+\large\frac{1}{a}\)\(\leq-2\)

Po pierwsze, sprawdzamy, co wiemy z zadania. Wiemy, że liczba \(a\) jest ujemna – musimy mieć to cały czas z tyłu głowy. Informacje w zadaniu zawsze są po coś (chociaż raz na 10 000 przypadków zdarza się troll, który daje jakąś informację, która nie jest potrzebna, i zaciera z radością ręce na myśl o tym, jak będziesz się męczyć – ale załóżmy, że to nie jest ten przypadek).

Teraz sprawdzamy, jak wygląda nasza teza, którą chcemy udowodnić.

„Nierówność \(a+\large\frac{1}{a}\)\(\leq-2\) jest prawdziwa.”

Zanim zacznę udowadniać, że ta nierówność jest prawdziwa, zacznę od jej przekształcenia. Po pierwsze dlatego, że chcę mieć postać „cośtam jest większe od zera”. Po drugie dlatego, że ta nierówność jest brzydka 😀

Wyrażenie ma ułamki, a ułamki to coś, co zazwyczaj komplikuje sprawę (podobnie jest z nawiasami) – dlatego będziemy chcieli się ich pozbyć, zanim pójdziemy dalej. Aby to zrobić, mnożymy wyrażenie obustronnie przez to, co stoi w mianowniku. I teraz uwaga. To, co stoi w mianowniku, to \(a\) – czyli liczba ujemna. Gdy mnożymy nierówność przez ujemną liczbę, to jej znak zmienia się na przeciwny (o nierównościach możesz poczytać tutaj).

\(a+\large\frac{1}{a}\)\(\leq-2\)

Mnożymy obustronnie przez \(a\) i odwracamy znak nierówności:

\(a\cdot a+\large\frac{1}{\cancel{a}^1}\)\(\cdot \cancel{a}^1\geq-2\cdot a\)

\(a^2+1\geq-2a\)

Teraz przenosimy wszystko na jedną stronę tak, by otrzymać nierówność postaci „cośtam jest większe od zera”.

\(a^2+2a+1\geq 0\)

Możemy zauważyć, że wyrażenie \(a^2+2a+1\) pasuje nam do wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(a^2+2\cdot a\cdot 1+1^2=(a+1)^2\)

Skoro tak, to nierówność \(a^2+2a+1\geq 0\) możemy zapisać tak:

\((a+1)^2\geq 0\)

Teraz zauważamy, że \((a+1)^2\) to kwadrat jakiejś liczby, a on jest zawsze większy lub równy zero. Tym samym nierówność \(a+\large\frac{1}{a}\)\(\leq-2\) jest zawsze prawdziwa.

Jak to wszystko zapisać?

__________

Teza: \(a+\large\frac{1}{a}\)\(\leq-2\)

\(a\cdot a+\large\frac{1}{\cancel{a}^1}\)\(\cdot \cancel{a}^1\geq-2\cdot a\)

\(a^2+1\geq-2a\)

\(a^2+2a+1\geq 0\)

\(a^2+2a+1=(a+1)^2\)

\((a+1)^2\geq 0\)

Nierówność \(a+\large\frac{1}{a}\)\(\leq-2\) jest równoważna nierówności \((a+1)^2\geq 0\), a ona jest zawsze prawdziwa, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero.

_____________________________________________

Do tej pory sprowadzaliśmy nierówność do postaci „liczba do kwadratu jest większa od zera”, nie jest to jednak jedyna możliwość. Większa od zera jest na przykład suma liczb większych od zera (np. jeśli \(2^2=4\) jest większe od zera i \((-5)^2=25\) jest większe od zera, to \(2^2+(-5)^2\) też będzie większe od zera). To oznacza, że nasza nierówność może być nie tylko postaci „kwadrat jakiejś liczby jest większy od zera”, ale też „suma kwadratów jest większa od zera”. Oto przykład:

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) zachodzi nierówność

\(\large(\frac{x+y}{2})^2\)\(\leq x^2+y^2\)

Najpierw jak zawsze patrzymy na założenia. Liczby \(x\) i \(y\) są rzeczywiste, czyli dowolne. Lecimy dalej.

Teza: „Nierówność \(\large(\frac{x+y}{2})^2\)\(\leq x^2+y^2\) jest prawdziwa.”

Przekształcimy teraz nierówność do postaci, która po pierwsze, będzie milsza dla oka, a po drugie, będzie miała formę „coś tam jest większe od zera”. Najpierw nawiasy. Wykonując potęgowanie, stosuję pierwszy wzór skróconego mnożenia.

\(\large(\frac{x+y}{2})^2\)\(\leq x^2+y^2\)

\(\large\frac{x^2+2xy+y^2}{4}\)\(\leq x^2+y^2\)

Teraz pozbywam się ułamka, mnożąc nierówność obustronnie przez \(4\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia.

\(\large\frac{x^2+2xy+y^2}{\cancel{4}^1}\)\(\cdot \cancel{4}^1\leq x^2\cdot 4+y^2\cdot 4\)

\(x^2+2xy+y^2\leq 4x^2+4y^2\)

Teraz robimy to, co zwykle, czyli przenosimy wszystko na jedną stronę, tak aby mieć nierówność postaci „cośtam jest większe od zera”.

\(0\leq 4x^2+4y^2-x^2-2xy-y^2\)

Zamienię sobie strony, bo to zawsze wygodniej mieć rzeczy po lewej stronie.

\(4x^2+4y^2-x^2-2xy-y^2\geq 0\)

Uporządkuję wyrażenie, redukując wyrazy podobne.

\(4x^2-x^2+4y^2-y^2-2xy\geq 0\)

\(3x^2+3y^2-2xy\geq 0\)

Wygląda podobnie do drugiego wzoru, nie? 🙂 Jeśli tego nie widzisz, to jeszcze to ciut przerobię:

\(3x^2-2xy+3y^2\geq 0\)

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Tylko właśnie – podobnie. Jak we wzorze zamienimy sobie \(a\) na \(x\) i \(b\) na \(y\), to otrzymamy taki wzór:

\(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)

Tymczasem w naszej nierówności mamy takie wyrażenie: \(3x^2-2xy+3y^2\) – jak widzisz, zawadzają nam te trójki. I jak żyć?

Możemy jeszcze trochę przekształcić naszą tezę i zrobić takie coś:

\(\underline{3x^2}-2xy+\underline{3y^2}\geq 0\)

\(\underline{2x^2+x^2}-2xy+\underline{2y^2+y^2}\geq 0\)

Widzisz, co się stało? Zamieniłam \(3x^2\) na \(2x^2+x^2\), tak samo z igrekiem. Dzięki temu możemy zastosować wzór. Pozamieniam sobie tylko kolejność wyrazów.

\(2x^2+2y^2+\underline{x^2-2xy+y^2}\geq 0\)

\(2x^2+2y^2+\underline{(x-y)^2}\geq 0\)

No dobra, część wyrażenia udało nam się przedstawić w formie kwadratu, a co z resztą? Z resztą nic nie robimy, bo już jest w formie kwadratów 🙂 Mamy więc wyrażenie, które jest sumą trzech liczb podniesionych do kwadratu. Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, a suma trzech nieujemnych liczb też będzie zawsze nieujemna. Piszemy więc wniosek:

Nierówność \(\large(\frac{x+y}{2})^2\)\(\leq x^2+y^2\) jest równoważna nierówności \(2x^2+2y^2+(x-y)^2\geq 0\), a ona jest zawsze prawdziwa, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, a suma trzech liczb większych lub równych zero też będzie większa lub równa zero.

________________________________________

Powstaje pytanie, czy zawsze musimy przedstawiać liczbę w postaci kwadratu? Otóż nie. Kwadrat daje nam bezpieczeństwo, że nawet jeśli występujące w wyrażeniu liczby są ujemne, to po „przerobieniu” na kwadraty wartość wyrażenia będzie dodatnia (to znaczy wyrażenie cały czas było dodatnie, tylko gdy jest w formie kwadratów, to to widać).

Może być jednak tak, że w założeniach jest napisane, że występujące w nim liczby są dodatnie (a nie, jak do tej pory, rzeczywiste). Wtedy otwiera się przed nami dużo więcej możliwości (co wbrew pozorom bardziej przeszkadza niż pomaga). Ale o tym może kiedyś 🙂

________________________________________________

No dobra, to teraz zadanie dla Ciebie:

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) zachodzi nierówność \(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2(ab-cd)\).

Powodzenia 🙂 Jeśli któryś krok jest niejasny, pytaj w komentarzu, chętnie pomogę.

Teza: \(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2(ab-cd)\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2ab-2cd\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2-2ab+2cd\geq 0\)
\(a^2-2ab+b^2+c^2+2cd+d^2\geq 0\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
\((a-b)^2+c^2+2cd+d^2\geq 0\)
\(c^2+2cd+d^2=(c+d)^2\)
\((a-b)^2+(c+d)^2\geq 0\)
Nierówność \(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2(ab-cd)\) jest równoważna nierówności \((a-b)^2+(c+d)^2\geq 0\), a ona jest zawsze prawdziwa, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, a suma dwóch liczb większych lub równych zero też będzie większa lub równa zero.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!