Trygonometria

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

W szkole uczysz się o trzech różnych funkcjach trygonometrycznych. Wszystkie trzy dotyczą jednak tego samego – boków i kątów w trójkącie prostokątnym, a to oznacza, że są ze sobą ściśle powiązane. Pokażę Ci dzisiaj, jakie te funkcje mają własności, w jaki sposób możesz przechodzić od jednej funkcji do drugiej i jak możesz tę umiejętność wykorzystać w zadaniach.

Na poziomie podstawowym obowiązują Cię trzy wzory pokazujące związki między funkcjami trygonometrycznymi. Najpierw omówię każdy z nich osobno, a później pokażę Ci, jak je łączyć.

Pierwszy wzór, nazywany jedynką trygonometryczną, wygląda tak:

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

Prawda jest taka, że rzadko stosujemy ten wzór w takiej formie. Zazwyczaj wyłączamy z niego \(\sin^2\alpha\) lub \(\cos^2\alpha\), o w taki sposób:

\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\)

(przeniosłam \(\cos^2\alpha\) na drugą stronę)

\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\)

(przeniosłam \(\sin^2\alpha\) na drugą stronę)

Stosujemy ten wzór zazwyczaj wtedy, gdy pojawia się gdzieś \(\sin^2\alpha\) albo \(\cos^2\alpha\). Pokażę Ci to na przykładach.

Sprowadź podane wyrażenie do najprostszej postaci:

\((1+\sin\beta)(1-\sin\beta)\)

Jak coś każą sprowadzić do najprostszej postaci, to zawsze pozbywamy się nawiasów. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\((1+\sin\beta)(1-\sin\beta)=1-\sin^2\beta\)

Pojawiło nam się \(\sin^2\beta\), więc możemy skorzystać z tego wzoru:

\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\)

W miejsce \(\sin^2\beta\) wstawię \(1-\cos^2\beta\):

\(1-\sin^2\beta = 1-(1-\cos^2\beta)\)

Należy tu pamiętać o nawiasach, bo przed sinusem stał minus. Teraz się tych nawiasów pozbędę:

\(1-(1-\cos^2\beta)=1-1+\cos^2\beta\)

Dalej upraszczam wyrażenie, odejmując od siebie jedynki:

\(1-1+\cos^2\beta=\cos^2\beta\)

W ten sposób doprowadziliśmy wyrażenie do najprostszej postaci.

Inny przykład:

Sprowadź podane wyrażenie do najprostszej postaci:

\(\cos^2x\cdot\sin x+\sin^3x\)

Tym razem pojawia nam się \(\cos^2x\). Możemy więc skorzystać z tego wzoru:

\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\)

W miejsce \(\cos^2x\) wstawiamy \(1-\sin^2x\) (pamiętaj o nawiasach!):

\(\cos^2x\cdot\sin x+\sin^3x=(1-\sin^2x)\cdot\sin x+\sin^3x\)

Pozbywamy się nawiasów:

\((1-\sin^2x)\cdot\sin x+\sin^3x=\sin x – \sin^3x+\sin^3x\)

Teraz możemy zredukować wyrazy podobne (a po polsku: pozbyć się \(\sin^3x\)):

\(\sin x – \sin^3x+\sin^3x=\sin x\)

Do prostszej postaci się już tego nie da sprowadzić.

OK, to przechodzimy do drugiego wzoru:

\(\text{tg }\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

Z tych trzech wzorów, które Cię obowiązują, ten jako jedyny zawiera tangens, więc gdy w wyrażeniu, które masz przekształcić, pojawia się tangens, to znak, że warto spróbować tego wzoru.

Przykład zastosowania:

Sprowadź podane wyrażenie do najprostszej postaci:

\(\text{tg }\alpha\cos\alpha\)

Nie ma tu żadnych nawiasów czy innych oczywistych rzeczy, które możemy uprościć, więc w miejsce \(\text{tg }\alpha\) wstawiamy \(\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) i patrzymy, co się stanie:

\(\text{tg }\alpha\cos\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)\(\cdot\cos\alpha\)

Jak widzisz, cosinus pięknie nam się skróci:

\(\large\frac{\sin\alpha}{\cancel{\cos\alpha}^1}\)\(\cdot\cancel{\cos\alpha}^1=\sin\alpha\)

Pora na trzeci wzór:

\(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\)

Ten wzór stosujemy wtedy, gdy w wyrażeniu pojawiają się dwa różne kąty, ale sumują się one do \(90^o\). Zadanie może wyglądać na przykład tak:

Sprowadź podane wyrażenie do najprostszej postaci:

\(\cos40^o-\sin50^o\)

Jak widzisz, mamy dwa różne kąty, jednak sumują się one do \(90^o\). To oznacza, że \(\sin50^o\) to inaczej \(\sin(90^o-40^o),\) możemy więc zgodnie ze wzorem zamienić \(\sin(90^o-40^o)\) na \(\cos40^o\):

\(\cos40^o-\sin50^o=\cos40^o-\sin(90^o-40^o)=\cos40^o-\cos40^o\)

Jak widzisz, wszystko nam się bardzo fajnie uprościło:

\(\cos40^o-\cos40^o=0\)

__________________________________________________

Te przykłady były o tyle łatwe, że należało w nich zastosować tylko jeden wzór. Pokażę Ci teraz, jak te wzory łączyć.

Sprowadź podane wyrażenie do najprostszej postaci:

\(\large\frac{\sin\beta}{\sin(90^o-\beta)}\)

Zaczynamy od tego, że przypominamy sobie, jakie wzory mamy do dyspozycji i zastanawiamy się, który z nich nam pasuje.

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\text{tg }\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

\(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\)

Jak pewnie widzisz, aż się prosi, żeby zastosować ostatni wzór i w miejsce \(\sin(90^o-\beta)\) wstawić \(\cos\beta\):

\(\large\frac{\sin\beta}{\sin(90^o-\beta)}=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\)

W tym miejscu znowu się zatrzymujemy, patrzymy na wzory i szukamy takiego, który nam pasuje. Jak widzisz, nasze wyrażenie jest prawą stroną drugiego wzoru. Możemy więc zamienić \(\large\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\) na \(\text{tg }\beta\):

\(\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\text{tg }\beta\)

Jest to już najprostsza możliwa postać, więc zadanie wykonane 🙂

Teraz przykład, przy którym trochę będziemy musieli się namęczyć.

Sprowadź podane wyrażenie do najprostszej postaci:

\(\large\frac{1+\text{tg }15^o}{\sin 75^o + \sin 15^o}\)

Tak jak poprzednio, zastanawiamy się, który wzór nam pasuje:

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\text{tg }\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

\(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\)

Jak widzisz, pasują nam dwa: w wyrażeniu występuje tangens, więc możemy zastosować drugi wzór, ale też występują dwa różne kąty, które sumują się do \(90^o\) (\(15^o+75^o=90^o\)). W takiej sytuacji najlepiej zacząć od zastosowania trzeciego wzoru. Dlaczego? Ponieważ aby swobodnie korzystać z pozostałych dwóch, potrzebujemy mieć wszędzie takie same kąty, co zastosowanie właśnie trzeciego wzoru nam umożliwi.

Co ważne: nie stosujemy tego wzoru na obu sinusach! Jeśli to zrobimy, to znowu będziemy mieć dwa różne kąty, tylko w odwrotnej kolejności (\(\sin15^o\) zamieni się na \(\cos75^o\), a \(\sin 75^o\) na \(\cos 15^o\)). Który zatem sinus wybrać? Ten, który nam nie pasuje do reszty wyrażenia. Mamy w nim \(\text{tg }15^o\), \(\sin 75^o\) oraz \(\sin 15^o\). Nie pasuje nam \(\sin 75^o\), więc to jego będziemy zamieniać.

Nasz wzór wygląda tak:

\(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\)

\(\sin 75^o=\sin(90^o-15^o)=\cos 15^o\)

Wstawiamy to do naszego wyrażenia:

\(\large\frac{1+\text{tg }15^o}{\sin 75^o + \sin 15^o}=\frac{1+\text{tg }15^o}{\cos 15^o + \sin 15^o}\)

Teraz spróbujemy skorzystać ze wzoru na tangens:

\(\text{tg }\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

\(\large\frac{1+\text{tg }15^o}{\cos 15^o + \sin 15^o}=\frac{1+\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o}}{\cos 15^o + \sin 15^o}\)

Zrobił nam się piętrowy ułamek, a piętrowy ułamek to jest coś, czego nie lubimy. W takiej sytuacji zawsze korzystamy z tego, że podzielić to to samo, co pomnożyć przez odwrotność (a kreska ułamkowa oznacza dzielenie):

\(\large\frac{1+\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o}}{\cos 15^o + \sin 15^o}\)\(=(1+\large\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o}\)\():(\cos 15^o + \sin 15^o)=(1+\large\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o}\)\()\cdot\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}\)

Nadal jest to dalekie od „najprostszej postaci”. Kolejną rzeczą, którą w takiej sytuacji można zrobić, to pozbyć się nawiasów. Można to zrobić na dwa sposoby: albo wymnożyć zawartość nawiasu przez to, co za nim stoi, albo zawartość nawiasu sprowadzić do wspólnego mianownika. Jeśli nie widzisz od razu, które działanie należy zastosować, to warto spróbować obu i zobaczyć, które przyniosło lepszy efekt. Już pokazuję, o co mi chodzi.

Najpierw biorę wyrażenie i wymnażam nawias przez czynnik za nawiasem:

\( (1+\large\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o}\)\()\cdot\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}\)\(=1\cdot\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}+\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o}\cdot\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}=\)

\(=\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}+\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o(\cos 15^o + \sin 15^o)}\)

Jak widzisz, wyrażenie nie bardzo chce się zrobić prostsze, więc póki co je zostawiamy i próbujemy je przekształcić w inny sposób. Zawartość nawiasu sprowadzę do wspólnego mianownika:

\( (1+\large\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o}\)\()\cdot\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}=(\frac{1}{1}+\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o})\cdot\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}=\)

\(=\large(\frac{\cos 15^o}{\cos 15^o}+\frac{\sin 15^o}{\cos 15^o})\cdot\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}=\frac{\cos 15^o+\sin 15^o}{\cos 15^o}\cdot\large\frac{1}{\cos 15^o + \sin 15^o}\)

Jak widzisz, to działanie przyniosło zdecydowanie lepszy efekt – na górze i na dole pojawiło nam się takie samo wyrażenie: \(\cos 15^o + \sin 15^o\), które możemy sobie skrócić.

\(\large\frac{\cancel{\cos 15^o+\sin 15^o}}{\cos 15^o}\cdot\large\frac{1}{\cancel{\cos 15^o+\sin 15^o}}=\frac{1}{\cos 15^o}\)

Przyznasz, że w końcu wygląda to przyzwoicie. Dla pewności znowu wracamy do wzorów i patrzymy, czy któryś nam pasuje. Jeśli nie, to możemy uznać, że jest to już najprostsza postać 🙂

________________________________________________

Na koniec, żeby nie było monotonnie, zrobimy sobie jedno zadanie dowodowe.

Uzasadnij, że dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) zachodzi równość

\(\large\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}\)

Spójrzmy na nasze trzy wzory i zobaczmy, czy któryś nam pasuje:

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\text{tg }\alpha=\large\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

\(\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha\)

Okazuje się, że tak w sumie to żaden. Musimy więc trochę przekształcić nasze równanie licząc na to, że nam to w czymś pomoże.

Zacznę od tego, że przeniosę \(\large\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\) na drugą stronę. Skąd wiem, że tak należy zrobić? Tak w zasadzie, to nie wiem. Robię tak dlatego, że ten ułamek oraz ułamek po drugiej stronie mają wspólny mianownik, a to oznacza, że możemy je łatwo dodać. Jeśli to mi skomplikuje sprawę, zamiast uprościć, to się z tego wycofam i spróbuję czegoś innego.

Tu mała uwaga – w szkole często uczycie się, że podczas dowodzenia należy przekształcać jedną stronę tak długo, aż wyjdzie nam to samo, co po drugiej stronie. Nie jest to jedyny sposób. Możemy na równaniu wykonywać wszystkie dozwolone działania (a więc też przenosić jego kawałki na drugą stronę – czyli „pracować” na obu stronach jednocześnie). Dowód kończy się wtedy, gdy po obu stronach równania znajdzie się to samo.

\(\large\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}\)

\(\large\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}-\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

Teraz dwa ułamki po prawej stronie mogę połączyć w jeden, wykonując odejmowanie. Możemy tak zrobić, bo mamy wspólny mianownik. Należy pamiętać o nawiasach.

\(\large\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2-(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}\)

\(\large\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2-1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

\(\large\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

Jest już nieco prościej, ale nadal żaden wzór nam nie pasuje. Wykonujemy więc kolejny krok, żeby przekształcić to równanie, mianowicie mnożenie na skos – jest to standardowy ruch, gdy mamy po obu stronach ułamek.

\(\sin\alpha\cdot\sin\alpha=(1+\cos\alpha)\cdot(1-\cos\alpha)\)

Upraszczamy wyrażenie, cały czas kontrolując, czy pojawia się możliwość zastosowania któregoś z wzorów.

\(\sin^2\alpha=1^2-\cos^2\alpha\)

Po prawej stronie zastosowałam wzór skróconego mnożenia.

\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\)

Zaczyna wyglądać podobnie do pierwszego wzoru, nie? 🙂

Przeniosę sobie cosinus na lewą stronę.

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

Zgodnie z pierwszym wzorem, mogę zamiast \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\) wpisać \(1\):

\(1=1\)

Otrzymaliśmy to samo po obu stronach, a więc udowodniliśmy, że równanie jest prawdziwe.

Na dziś to tyle 🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.

O autorce

Cześć! Jestem Kinga. Lubię koty, wspinaczkę i choinkowe światełka. Nic nigdy nie sprawiało mi takiej przyjemności, jak słyszenie słów "Ej, to serio jest takie proste?", i to już od czasu, gdy w wieku siedmiu lat nauczyłam młodszą koleżankę, jak wiązać buty. Choć wizja siebie jako nauczycielki pojawiała się u mnie regularnie, była skutecznie tłumiona, bo za każdym razem, gdy o tym komuś wspominałam, słyszałam: "Naprawdę? Chcesz uczyć... gimnazjalistów?", zupełnie jakbym powiedziała, że chcę adoptować karalucha. To sprawiło, że pasję do uczenia innych odkrywałam bardzo długo. W końcu jednak mi się to udało, czego efektem jest ten blog :) Zapraszam do czytania!